4. Варианты импликации

Импликация двух высказываний отличается от эквивалентности, а также от дизъюнкции и конъюнкции тем, что она несимметрична. Так X V У эквивалентно У V X; X Л У эквивалентно У Л X; X У эквивалентно У о X, но X -> У не эквивалентно У —> X. Высказывание У —> X на­зывается конверсией высказывания X —> У. Многие из наиболее распро­страненных ошибок в рассуждениях происходят от смешивания какого- либо высказывания с его конверсией. Интересно поэтому рассмотреть те импликации, которые могут быть образованы из высказываний X и У.

В таблице истинности представлены четыре импликации и их названия.

X	Y	X	У	Импликация X Y	Конверсия импликации Y ^ X	Конверсия контрапозиции У	Контрапозиция У->Х
0	0	1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0	1
1	0	0	1	0	1	1	0
1	1	0	0	1	1	1	1

Из таблицы видно, что X —» У эквивалентно Y —> X. Последнее назы­вается контрапозицией первого. Контрапозиция является удобной фор­мой импликации во многих рассуждениях. Аналогично, высказывание X —> Y представляет собой конверсию контрапозиции. Так как контра­позиция эквивалентна X —> У, то конверсия этой контрапозиции эквива­лентна конверсии этой импликации.

С импликацией связано постоянное упоминание математиками «не­обходимое условие» и «достаточное условие».

X является достаточным условием для У	Если имеет место X, то У также будет иметь место	Импликация Х-> У
X является необходимым условием для У	Если имеет место У, то X также будет иметь место	Конверсия достаточного условия У->Х
X является необходимым и достаточным условием для У	X имеет место, если и только если имеет место У	Двойная импликация X «э У эквивалентность

5. Основные законы, определяющие свойства введенных логических операций

1. Идемпотентность дизъюнкции и конъюнкции:

ХУХ^Х, ХаХ<^Х.

2. Коммутативность дизъюнкции и конъюнкции:

XVY^YVI, lAYoYAX.

3. Ассоциативность дизъюнкции и конъюнкции:

XV(YVY)«(XVY)V2, X Л (Y Л Z) f> (X AY) A Z.

4. Дистрибутивность операций дизъюнкции и конъюнкции относи­тельно друг друга:

X V (Y Л Z) «-> (X V У) Л (X V Z), X Л (Y V Z) ^ (X Л Y) V (X Л Z).

5. Двойное отрицание:

6. Закон де Моргана:

XVY^X/TY, xay^xvy.

7. Склеивание:

(IVY)A(XVY)« X, (IaY)V(XaY)h X.

8. Поглощение:

XV(XaY)oX, XA(XVY)oX.

9. Действие с логическими константами 0 и 1:

XvOoX, ХлО О, XV1«->1, X Л 1 о X, X Л X 0.

10. Закон исключения третьего:

X V X 1.

11. Тождество:

Х«Х.

12. Отрицание противоречия:

ХЛХе 1.

13. Контрапозиция:

(X -> Y) ^ (Y ->• X).

14. Цепное заключение:

((X -> Y) Л (У -> Z)) (X -> Z).

15. Противоположность:

(XhY)h(Xh Y).

16. Модус поненс (modus ponens):

(X Л (X -> Y)) ч Ye> 1.

Сформулированные законы легко проверить с помощью таблицы ис­тинности.

Заметим, что при исследовании различных высказываний на эквива­лентность (равносильность) логическую связку можно заменить обыч­ным знаком равенства =.