44. Способы задания графов

Существует три эквивалентных способа задания графов: аналитиче­ский, геометрический и матричный. Рассмотрим каждый из них.

Аналитический способ задания графов

Граф G(V, Е) задан, если задано множество элементов V и отображе­ние Е множества V в V. Отображение Е может быть как однозначным, так и многозначным. В общем случае наУиЕ никаких ограничений не накладывается.

Пусть дано множество V = {щ, о₂,v„}, которое имеет мощность \V\ = п. Вместо V = {t>i, v₂,..., v_n} иногда пишут

P={iVK ie{l,2,...,n}.

Для того чтобы задать отображение Е на V или, что то же самое, ото­бражение V в V, необходимо каждому элементу к, 6 V поставить в соот­ветствие некоторое подмножество множества V, которому соответствует отображение Е. Это подмножество обозначают через E_Vj. Поэтому E_Vi С V. Совокупность двух объектов: множества V и отображение £ на V задает некоторый граф.

Другой формой аналитического способа задания является задание графа как совокупности множества элементов V и подмножества мно­жества упорядоченных пар (щ, Vj) Е V х V. Подмножество множества пар (и/, Vj) декартова произведения V х V эквивалентно бинарному отно­шению R, заданному на множестве V. Поэтому множество V и бинарное отношение R на множестве V также определяет некоторый граф G.

Геометрический способ задания графов

Множество элементов V графа G изображают кружками, это множе­ство вершин. Каждую вершину и* € V соединяют линиями с теми вер­шинами Vi £ V, для которых выполняется условие и,- Е Е_щ. Множество линий, которое соответствует множеству упорядоченных пар (oj, Vj), есть множество ребер графа.

Матричный способ задания графов

Квадратная матрица

ац	«12 •	«1га
«21	«22 •	• «2га
ап 1	ап 2 •	«гага

элементами которой являются нули и единицы, а также некоторое чи­сло т, называется матрицей смежности графа G(V, Е) тогда и только тогда, когда ее элементы образуются по следующему правилу: элемент Ujj, стоящий на пересечении о,-й строки и р,-го столбца, равен единице, если имеется ребро, идущее из вершины к, в вершину Vj, и ау равен ну­лю в противном случае. Элемент a_iyi равен единице, если при вершине Vj имеется петля, и равен нулю в противном случае. Элемент а у равен не­которому числу т, где т — число ребер графа, идущее из вершины г, в вершину Vj.

Пусть Vi,..., v_n — вершины, а е\,..., е_т — ребра некоторого ориенти­рованного графа G(V, Е). Матрица размером (т х /г), где

1. если Cj исходит из vp,

<

«ы =

— 1, если Cj заходит в vp,

О, если Cj не инцидентна н.

называется матрицей инцидентности для ребер ориентированного графа.

Таким образом, если граф G(V, Е) задан одним из указанных спосо­бов: аналитическим, геометрическим или матричным, всегда можно пе­рейти к любому другому способу задания. Результаты, которые получе­ны на одном языке, можно интерпретировать в другом. Наиболее часто для задания графа используется аналитический и матричный способы, а геометрический способ служит для иллюстрации полученных результа­тов.

45. Некоторые типы графов