41. Изоморфизм графов

Два графа G\(V\,Ei) и G‘i(V2, Е2) называются изоморфными, если между множествами их вершин существует биективное (взаимноодно­значное) соответствие, такое, что вершины соединены ребрами в одном из графов в том и только в том случае, когда соответствующие им вер­шины соединены в другом графе. Если ребра графа ориентированы, то их направление в изоморфных графах должно совпадать. Изоморфизм графов есть отношение эквивалентности, так как обладает свойствами ре­флексивности, симметричности, транзитивности. Для того чтобы граф G\ был изоморфен графу G2, необходимо и достаточно существования такой подстановки, которая бы установила взаимнооднозначное соответствие между вершинами графа, а также между их ребрами.

При замене графа любым ему изоморфным все свойства графа сохра­няются. Строго говоря, графы, отличающиеся только нумерацией вер­шин, являются изоморфными.

Алгоритм распознавания изоморфизма двух графов Gi(X;E) и G₂(Y; Е).

1. Подсчитываем число вершин каждого графа (число вершин должно совпадать, в противном случае графы неизоморфные).

2. Выписываем все элементы обоих графов в естественной упорядо­ченности и определяем пары (х,; xj) и (у,-; yj) для каждого элемента, где ху, yi — число исходов для каждой вершины графов G] и G₂, а ху yj — число заходов для соответствующих графов.

3. Для каждого элемента х графа G\ ищем такой элемент у графа G₂, что выполняется условие: число исходов х совпадает с числом исходов у, и число заходов х совпадает с числом заходов у. Найденные элементы х и у соединяем ребром, т. е. строим граф соответствия (если соответствия нет, то графы не изоморфны).

4. Выписываем подстановку, которая переводит граф G\ в граф G₂.

Элементы теории графов

42. Плоские графы

Граф G(V, Е) называется плоским, если на плоскости его можно изоб­разить так, что все пересечения его ребер являются вершинами графа G{V,E).

В качестве характеристики плоского представления графа вводится понятие грани.

Гранью в плоском представлении графа называется часть плоскости, ограниченная простым циклом и не содержащая внутри других циклов.

43. Операции над графами

В ряде задач теории графов используются двуместные операции над графами.

Рассмотрим графы G\(V₁,Ei) и (?2(Р2> ^2)-

а) Дополнением графа Gi(V\, Ei) называется граф G\(Vi, Ei), множе­ством вершин которого является множество V\, а множеством его ребер является множество Ei — {е € V) х V) : е $ Еi}.

б) Объединением графов G\(\\, Е]) и G₂(V<i, Е₂) при условии, что V\ Г) V2 = 0; Ei П Е2 = 0, называется граф G\(Vi, Ei) U G₂(V₂, E₂), мно­жеством вершин которого является множество V\ UV2, а множеством его ребер является множество Ei U Е2.

в) Пересечением графов Е\) и G₂(V₂, Е₂) называется граф

G\{V\, Ei)f)G₂(V₂, Е₂), множеством вершин которого является множество V\ ГI V₂, а множеством его ребер — множество Е\ П Е₂.

г) Суммой по модулю два графов Gi(Vi, Ei) и G₂(V₂, Е₂) при условии, что V\ П V₂ = 0; Ei П Е₂ = 0, называется граф Gi(V_lyEi) © G₂(V₂,E₂), множеством вершин которого является множество V\ U V₂, а множеством его ребер — множество Е\ © Е₂. Другими словами, этот граф не имеет изолированных вершин и состоит только из ребер, присутствующих либо в первом графе, либо во втором графе, но не в обоих графах одновременно.

Легко убедиться в том, что операции: объединение, пересечение и сумма по модулю два обладают свойством коммутативности.