Логика предикатов или логика первого порядка

28. Предикаты

Рассмотрим пример: «х простое число». Это выражение не является высказыванием, но если в нем переменную х заменить на определенное число, то получим высказывание. Причем при замене х на число 3 полу­чим истинное высказывание, тогда как при замене х на 8 получим ложное высказывание.

Таким образом, выражение: «х простое число» можно рассматривать как функцию Р(х), зависящую от переменной х. Область определения Р(х) — множество чисел, а область значения — высказывание.

Определение. Предикат — функция, значениями которой являются выска­зывания о п объектах, представляющих значения аргументов

Ч

.

тобы задать п-местный предикат P(xj, хг,...»х„), следует указать множестваXi,Х2, ...,Х_п — области изменения переменных xj, Х2, ..., х„, причем чаще всего рассматривается случай, когдаХ\ = Х% = ... = Х_п.

С теоретико-множественной точки зрения предикат определяется за­данием подмножества М в декартовом произведении Х\ х Х2 х ... хХ_п.

Переменные Xi,X2,-..,x_n называются предметными переменными. Элементы множествХ\,Х2, ...,Х_п называются предметами. Множество М — множество кортежей длины п (х\, х^, ...,х_п) называется полем пре­диката Р(Х 1, Х2, Х„).

Будем обозначать предметные переменные малыми буквами кон­ца латинского алфавита (иногда будем снабжать эти буквы индексами) X, У, Z, .. -, Х\, Х2 > ■ ■ • > Xfi.

Предметы из множеств Х\, Х^, ...,Х_п — малыми буквами начала ла­тинского алфавита а, Ъ, с,..., а\, а2, а%

Предикаты — большими буквами латинского алфавита с припи­санными предметными переменными или без них А(х, х), В, Р(х, у), Р(х_ь ...,х_п).

Число переменных будем указывать как верхний индекс у предиката: P^k(x i,X2,Xk) — k местный предикат, Q²(x,y) — двуместный предикат, Р(х) — одноместный предикат.

Итак, /г-местный предикат — P^k(xi, Х2,..., х^) есть функция, предмет­ные переменные которой принимают значения из некоторого множества Mk, а сама она принимает только два значения: истина (1) или ложь (О), т. е.

P^k(x_l,x₂, ...,x_k) : M_k^{ 1,0}.

Например, если X — множество действительных чисел, то х² > 1 — одноместный предикат.

Если X, Y — множества действительных чисел, то ху = 5 — двумест­ный предикат.

Предикат называется разрешимым, если существуют такие кортежи, компоненты которых обращают предикат в истинное высказывание.

Если предикат при подстановке любых конкретных элементов из со­ответствующих множеств обращается в истинное высказывание, он на­зывается тождественно истинным.

Если предикат при подстановке любых конкретных элементов из со­ответствующих множеств обращается в ложное высказывание, он назы­вается тождественно ложным.

К предикатам, определенным на одном и том же множестве, мож­но применять операции алгебры высказываний: конъюнкцию, дизъюнк­цию, импликацию, эквивалентность, отрицание и получать новые пре­дикаты.

Например, если к предикатам «х = у» и «х < у» — обозначим их соответственно Р(х, у) и Q(x, у) — применить операцию конъюнкции, то получим новый предикат Р(х, у) Л Q(x, у).