Элементы комбинаторного анализа

24. Основные правила комбинаторики

Мы уже рассматривали задачу: подсчет числа элементов в декартовом произведении множеств {1,2,3) У. {х, у}. Число таких элементов, как мы видели, равно произведению числа элементов первого множества на число элементов второго множества, т. е. в нашем случае это 3-2 = 6.

За этой простой задачей стоит правило, которое называется первым основным правилом комбинаторики: правило произведения.

Пусть необходимо выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе n2 способами и так далее до k — действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий можно выполнить n1*n2*…*nk способами.

Другим часто применяемым в комбинаторике правилом является правило суммы. Это правило формулируется следующим образом: если элемент х может быть выбран m способами, а элемент у — другими n способами, то выбор «либо х либо у» может быть осуществлен m + n способами.

25. Перечислительная комбинаторика или теория перечислений

Будем рассматривать задачи, связанные с нахождением числа спосо­бов построения кортежей из элементов конечного множества. Простей­шими такими кортежами являются размещения, перестановки, сочета­ния. Эти задачи образуют часть комбинаторики, называемой перечисли­тельной комбинаторикой или теорией перечислений.

Пусть А — конечное множество, состоящее из « элементов |А| = «.

а) Размещения. Кортежи длины k (1 ^ к ^ п), состоящие из различ­ных элементов «-элементного множества А (кортежи отличаются один от другого как самими элементами, так и их порядком), называются раз­мещениями из п элементов множества А по к. Число таких размещений будем обозначать А* (буква А от французского слова arrangement — раз­мещение). Схема выбора состоит в выборе к элементов из «-элементного множества без возвращения.

Тогда необходимо совершить k действий, причем первое действие можно совершить п способами, второе («—1) способами и т. д., к-е действие п — (к— 1) способами. Согласно комбинаторному правилу умножения, по­лучим формулу: А^ = «■(«— 1) •... (« — /г + 1).

Если умножить и разделить полученное выражение на (п — k)l, полу­чим:

г

п\

(п — k)V

де «! = «•(« — 1) ■ ... - 3 • 2 • 1 и называется факториалом числа п (читается «-факториал). Причем: О! = 1; 1! = 1; 2! = 1 • 2 = 2; 3! = 1 2 • 3 = 6; 4! = 1 • 2 - 3 - 4 = 24; 5! = 4! • 5 = 120... .

П

3!

(3 - 2)!

1-2-3

1!

= 6.

усть, например, дано множество А{1, 3, 5}. Выпишем все размеще­ния из трех элементов по два: (1, 3), (1, 5), (3, 5), (3,1), (5, 3), (5,1). Число этих размещений можно найти по формуле

б) Перестановки. Пусть у нас есть «-элементное множество А, будем строить из этого множества размещения в виде кортежей длины «. Эти размещения будут отличаться друг от друга только порядком, поскольку в каждом из них встречаются по одному разу все элементы множества А. Такие размещения называются перестановками и обозначаются Р_п (буква Р от английского слова permutation — перестановка). Поскольку Р_п = А", то число перестановок вычисляется по формуле Р_п = n!.

Выясним, например, сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая входит в число только один раз.

Составим такие числа: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3, 2,1) — то есть шесть чисел. С помощью введенной формулы можно сразу определить число перестановок, не выписывая их:

Р₃ = 3! = 1 • 2 • 3 = 6.

в) Сочетания. Из n-элементного множества А будем строить упорядо­ченные множества длины к (1 ^ к ^ п), не учитывая порядок элементов, т. е. размещения с одними и теми же элементами, расположенными в разном порядке, будем считать равными.

Такие размещения называются сочетаниями и обозначаются С* (бук­ва С от английского слова combination — комбинация).

Число сочетаний из п элементов по к меньше числа размещений из п

A^k

элементов по к в Р& раз, т. е. С^к =

Pfe

Используя это утверждение, выведем формулу для вычисления числа сочетаний:

С^к = 4" = л! ₌ п(п- 1)...(п- k + 1)

" P_k (п - к)\ -к\ к\

Из этой формулы непосредственно вытекает, что Сд = С® = С” = 1;

Ci = n;C*=Cr*.

Выясним, какие парные сочетания можно составить из цифр 1, 3, 5 и сколько их. Выпишем эти сочетания:

(1,3), (1,5), (3,5),

т. е. С| = А = 3 или С§ = С- = С\ = 3.

Непосредственной проверкой легко доказать следующие тождества:

1. Ci - q = q - C^kZ^r_r, где О ^ г ^ к ^ п.

Действительно:

fyk syr __ п\ • к\ __ nl ^)‘ fyr fyk—r

^{п к} (п — к)1 ■ к\- (к — г)! - г! (п — г)! - г! (п — к)\ ■ {к — г)! " ^п~^г'

2. С^к_п__х + С^к-_\=С^к_п:

(п — 1)! (п — 1)!

{п — к — 1 )\к\ (п — к)\(к — 1)!

₌ (п - 1)!(п - к + к) _{= п}\ _{= C}k (п — к)\к\ (п — к)\к\

26. Комбинации элементов с повторениями

Все приведенные формулы справедливы в том случае, когда п элемен­тов множества А различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае рассматриваются комбинации с повторениями, число которых вычисляется по другим формулам.

Размещениями с повторениями из п элементов по k называются кор­тежи длинв1 k, составленные из п — элементного множества А. Число этих кортежей обозначают А*. Черта указывает на возможность повторе­ния элементов А^ = п^к. Например, сколько пятизначных номеров можно составить из элементов множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? Такими номе­рами являются кортежи длины 5, составленные из девятиэлементного множества, где схема выбора состоит в выборе 5 элементов из девятиэле­ментного множества с возвращением, т. е. для каждого из пяти элементов есть девять способов выбора, т. е. А| = 9⁵ = 59 049.

Перестановкой с повторениями состава (п\,..., п_к) из букв (aj,... ,а_к) называют любой кортеж длины п = П\ + п₂ + - + ⁿk> в который а\ вхо­

д

nl

ni\n₂\...n_k\

Р(п₁,п₂,.

(Hi + п₂ + ... + щ)\ ni\n₂\...n_k\

Щ) =

ит п\ раз, а2 входит П2 раз, ..., а* — п_к раз. Число таких перестановок обозначают

Еще один пример. Сколько слов можно получить, переставляя бук­вы в слове «математика»? Слово «математика» является кортежем дли­ны 10, имеющем состав (2, 3, 2,1,1,1) (буква «м» входит два раза, бу­ква «а» входит 3 раза, буква «т» входит два раза, буквы «е», «и», «к» входят по одному разу). Значит, при перестановках букв получит­

с

2! - 3! - 2! - 1! - 1! - 1!

151 200 слов.

10!

я Р(2,3,2,1,1,1) =

Сочетания с повторениями. Пусть имеются предметы п видов и из них составляется набор, содержащий k элементов, т. е. различными исхода­ми будут всевозможные наборы длины k, отличающиеся составом, и при этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Та­кие наборы называются сочетаниями с повторениями, а их общее число определяется формулой : С^к = C^h_n+k_ ,.

Например, нужно выяснить, сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта?

Искомое число равно С\^_{ч л} — С\₀ = Cf₀ = ^ ^ = 120.

1 * Z * о

27. Бином Ньютона

С числами С* связано функциональное тождество, называемое фор­мулой бинома Ньютона. Из элементарной математики хорошо известны формулы сокращенного умножения:

(а + Ъf = а² + 2 ab + Ь²; (а + Ъ)³ = а³ + 3 а²Ъ + Sab² + b³.

I

Эти формулы можно записать так:

(а + Ъ)² = C%a²b^G + C\ab + С²а°Ь²;

(а + Ъf = C%a³b° + С\а²Ъ^х + C|ab² + C\a%³.

Имеет место и общая закономерность: справедливо равенство:

(а + Ь)^п = C°_naⁿb° + Claⁿ~^lb + С²_па^п~²Ь² + ... + С^п_па°Ь^п.

Это равенство и называется биномом Ньютона, а коэффициенты С®, С\, С²,..., С" называются биномиальными коэффициентами.

Если положить а = Ъ = 1, то из формулы бинома Ньютона вытекает следующее важное соотношение: (1 + 1)" = С® + С* + С² + ... + С” = 2^п — формула суммы биномиальных коэффициентов.

Если положить в биноме Ньютона а = 1, b = — 1,то

С°_п-С¹_п + С²-... + (-1ГС"_п = 0.

Поскольку С* = С’'~^к, то биномиальные коэффициенты, равноотсто­ящие от концов в формуле бинома Ньютона, равны.