Множества и отображения

20. Кортежи и декартово произведение множеств

Определение. Пусть даны множества Хг,Х2, ...,Хп. Кортежем длины п, составленным из элементов этих множеств, называется конечная последо- вательностьа = (х\,х2, ...,хп), где для всехй, 1 k ^ п, имеем хи е Хк-

По определению, бинарным отношением называется множество пар. Если R — бинарное отношение (т. е. множество пар), то говорят, что пара­метры х и у связаны бинарным отношением R, если пара (х, у) является элементом R, т. е. (х, у) £ R.

Высказывание: «предметы х и у связаны бинарным отношением R» записывают в виде х R у.

Таким образом, х R у (х,у) £ R-

Если R С А х А, то говорят, что бинарное отношение определено на множестве А.

Областью определения бинарного отношения R называется множе­ство, состоящее из таких х, для которых (х, у) £ R хотя бы для одного у.

Область определения бинарного отношения будем обозначать 8/,>.

Областью значений бинарного отношения R называется множество всех у, для которых (х, у) £ R хотя бы для одного х.

Область значений бинарного отношения будем обозначать р/,>.

Рассмотрим специальные бинарные отношения:

а) Бинарное отношение R на непустом множестве А называется ре­флексивным, если (х, х) £ R для всех х £ А, и иррефлексивным, если (х, х) tfiR для всех х £ А.

б) Бинарное отношение R на непустом множестве А называется сим­метричным, если (х,у) £ R => (у, х) £ R, и антисимметричным, если (х, у) £ Rn (у, х) £ Д => х = у.

в) Бинарное отношение R на непустом множестве А называется тран­зитивным, если (х, у) £ Ru (у, z) £ R => (х, z) £ R.

Рефлексивное, транзитивное и симметричное бинарное отношение R на множестве А называется эквивалентностью на А.

21. Бинарные отношения

Пусть А и В два конечных множества. Декартовым произведением множеств А и В называют множество А х В, состоящее из всех упорядо­ченных пар (а, Ь), где а £ А, & £ В.

Бинарным отношением между элементами множеств А и В называет­ся любое подмножество R множества А хВ, т.е.йсАхВ.

По определению, бинарным отношением называется множество пар. Если R — бинарное отношение (т. е. множество пар), то говорят, что пара­метры х и у связаны бинарным отношением R, если пара (х, у) является элементом R, т. е. (х, у) £ R.

Высказывание: «предметы х и у связаны бинарным отношением R» записывают в виде х R у.

Таким образом, х R у (х,у) £ R-

Если R С А х А, то говорят, что бинарное отношение определено на множестве А.

Областью определения бинарного отношения R называется множе­ство, состоящее из таких х, для которых (х, у) £ R хотя бы для одного у.

Область определения бинарного отношения будем обозначать 8/,>.

Областью значений бинарного отношения R называется множество всех у, для которых (х, у) £ R хотя бы для одного х.

Область значений бинарного отношения будем обозначать р/,>.

Рассмотрим специальные бинарные отношения:

а) Бинарное отношение R на непустом множестве А называется ре­флексивным, если (х, х) £ R для всех х £ А, и иррефлексивным, если (х, х) tfiR для всех х £ А.

б) Бинарное отношение R на непустом множестве А называется сим­метричным, если (х,у) £ R => (у, х) £ R, и антисимметричным, если (х, у) £ Rn (у, х) £ Д => х = у.

в) Бинарное отношение R на непустом множестве А называется тран­зитивным, если (х, у) £ Ru (у, z) £ R => (х, z) £ R.

Рефлексивное, транзитивное и симметричное бинарное отношение R на множестве А называется эквивалентностью на А.