§6 . Рівняння прямої у просторі Основні теоретичні відомості

1. Пряма як перетин двох площин:

.

2. Канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно вектору

,

- напрямний вектор прямої.

3. Канонічні рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки і :

.

4. Параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку із напрямним вектором

.

Приклад 35. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки

► або .◄

Приклад 36. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій

► Напрямний вектор заданої прямої є є напрямним і для шуканої прямої. Складемо її рівняння: ◄

Приклад 37. Скласти параметричні рівняння прямої, яка проходить через точки .

► Запишемо рівняння прямої через дві задані точки: виразимо змінні через : , отримані рівності і задають параметричні рівняння прямої .◄

Приклад 38. Скласти канонічні рівняння прямої

► Знайдемо точку , яка лежить на заданій прямій: нехай , тоді і шукаємо із системи: ,звідки і точка Знайдемо напрямний вектор прямої : де ­- нормальні вектори площин, які в перетині задають пряму:

тоді рівняння прямої має вигляд: або .◄

Приклад 39. Довести перпендикулярність прямих і

► Знайдемо напрямні вектори заданих прямих : і Якщо прямі перпендикулярні, то їх напрямні вектори також перпендикулярні, тому знайдемо скалярний добуток , що і доводить перпендикулярність прямих.◄

Приклад 40. Знайти гострий кут між прямими : ,

► Напрямні вектори прямих будуть: , знайдемо , тому кут між векторами, а, отже, і між прямими дорівнює .◄

Приклад 41. Знайти точку перетину прямої із площиною .

► Перейдемо від канонічних рівнянь прямої до параметричних: . Підставимо в рівняння площини і виразимо із нього : , звідки . Підставимо знайдене значення в параметричне рівняння прямої і отримаємо точку перетину прямої і площини - . ◄

Приклад 42. Обчислити відстань від точки до прямої

► Знайдемо рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно заданій прямій. Напрямний вектор прямої є нормальним для площини, тому рівняння площини буде мати вигляд: або Тепер знайдемо точку перетину цієї площини із прямою. Для цього перейдемо до параметричного вигляду рівняння прямої : , підставимо в рівняння площини і знайдемо : звідки Підставимо знайдене в параметричне рівняння прямої і отримаємо координати точки Знайдемо відстань між точками і , яка і задає відстань від точки до прямої. ◄

Приклад 43. Знайти рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до площини

► Нормаль площини є напрямним вектором шуканої прямої. Будемо шукати рівняння прямої в канонічному вигляді де а - відповідні координати точки , тому рівняння прямої має вигляд : ◄

Приклад 43. Скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої

► Оскільки площина перпендикулярна прямій, то напрямний вектор прямої є нормальним вектором площини, рівняння якої шукаємо у вигляді : де тобто Маємо або ◄

Приклад 44. Знайти проекцію точки на площину

► Проекцією точки на площину є точка перетину прямої , яка проходить через перпендикулярно до площини. Нормальний вектор площини буде напрямним прямої , тому рівняння прямої має вигляд: або в параметричному вигляді: Знайдемо точку перетину прямої і площини. , тоді і тому проекцією точки на площину буде точка .◄