§3. Диференціал функції та його застосування до наближеного обчислення значення функції Основні теоретичні відомості

Функцію називають диференційованою у точці , якщо приріст функції у точці можна подати у вигляді:

, (1)

де при .

Нехай функція є диференційованою у точці . Диференціалом функції у точці називається головна (лінійна відносно приросту аргументу) частина приросту функції , при цьому пишуть .

Основні властивості диференціала функції (функції – залежать від змінної та диференційовані):

1. , де ,

2. ,

3. ,

4. .

Із формули (1) при та при випливає , що

.

Оскільки , , то

при умові, що мале.

За допомогою цієї формули можна обчислювати наближені значення функції в точках близьких до точки .

Приклад 29. Знайти диференціал функції у точці .

► Знайдемо похідну від складної функції

.

Враховуючи, що

, , отримаємо . Отже, маємо .◄

Приклад 30. Знайти диференціал функції .

► Знайдемо похідну від складної функції

.

Отже, маємо .◄

Диференціали вищих порядків знаходяться через диференціали нижчих порядків: , ..., . Диференціали вищих порядків не мають властивості інваріантості, наприклад, якщо , , то

.

Приклад 31. Знайти диференціал другого порядку функції .

► Знайдемо похідну від складної функції .

Знаходимо другу похідну функції

Отже, маємо . ◄

Приклад 32. Знайти наближене значення функції при .

► Скористаємось формулою . Оскільки , то візьмемо , тоді . . Знайдемо похідну , значення похідної у точці .Маємо . Отже, .◄

Приклад 33. Знайти наближене значення функції при .

► Скористаємось формулою наближеного обчислення

.

Оскільки , то візьмемо за , тоді . . Тепер знайдемо похідну , значення похідної у точці .

Маємо . ◄

Приклад 34. Знайти наближене значення функції при .

► Скористаємось формулою . Оскільки , то візьмемо за , тоді . . Знайдемо похідну . Тоді

.

Маємо .

Тобто .◄

91