§2. Застосування похідної Основні теоретичні відомості

Рівняння дотичної до кривої у точці дотику має вигляд:

.

Відповідно рівняння нормалі до кривої у точці дотику має вигляд:

.

Критичною точкою функції називається точка неперервності функції у який похідна функції дорівнює нулю або похідна не існує. Стаціонарною точкою називають точку області визначення функції, у який похідна дорівнює нулю.

Правило знаходження інтервалів монотонності функції:

1. визначити область допустимих значень функції

2. знайти похідну заданої функції;

3. знайти критичні точки заданої функції;

4. на числовій вісі відмітити область визначення функції та критичні точки;

5. якщо на інтервалі похідна , то на цьому інтервалі функція зростає, якщо на інтервалі похідна , то на цьому інтервалі функція спадає.

Правило знаходження точок екстремуму функції:

1. визначити область допустимих значень функції

2. знайти похідну заданої функції;

3. знайти критичні точки заданої функції;

4. знайти інтервали монотонності функції (відмітити на числовій вісі);

5. якщо при проходженні точки із області визначення функції похідна змінює свій знак, тобто , то точка є точкою локального екстремуму, при цьому вона є точкою максимуму, якщо похідна змінює знак з “+” на “–“ (рис.1); точка з області визначення функції є точкою мінімуму, якщо похідна змінює знак з “–” на “+“ (рис. 2).

рис. 1 рис. 2

Другу похідну можна використати для дослідження графіка функції на опуклість та для знаходження точок перегину графіка функції.

Графік функції опуклий вгору на інтервалі , якщо на цьому інтервалі графік функції лежить нижче довільної дотичної, проведеної до графіка на цьому інтервалі, тобто .

Графік функції опуклий вниз на інтервалі , якщо на цьому інтервалі графік функції лежить вище довільної дотичної, проведеної до графіка на цьому інтервалі, тобто .

Точку на графіку функції , у якій графік змінює свою опуклість називають точкою перегину. Аналітично, це означає, що в околі точці із області визначення друга похідна змінює свій знак на протилежний.

Правило дослідження графіка функції на опуклість та точки перегину:

1. Знайти область допустимих значень функції ОДЗ , особливо точки у, яких функція невизначена;

2. Знайти першу похідну функції ;

3. Знайти другу похідну функції (це похідна від першої похідної);

4. Знайти точки, у яких друга похідна дорівнює нулю ;

5. Знайти точки, у яких друга похідна не існує (знаменник другої похідної, якщо він присутній, прирівняти до нуля);

6. Відмітити всі знайдені точки на числовій осі;

7. Дослідити знак другої похідної на кожному із інтервалів (на малюнку розставити знак “–“ або “+” відповідно);

8. Зробити висновки:

якщо на інтервалі , то графік функції опуклий вниз на інтервалі ,

якщо на інтервалі , то графік функції опуклий вгору на інтервалі ,

якщо в околі точки друга похідна змінює свій знак на протилежний, то точка є точкою перегину.