Розділ 1. Елементи лінійної алгебри

§1. Визначники Основні теоретичні відомості

1. Вираз

називають визначником (детермінантом) другого порядку.

2. Вираз

н азивають визначником (детермінантом) третього порядку. Для запам’ятовування цієї формули зручно користуватися схемою:

+ –

3. Основні властивості визначників.

   1. Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити відповідними стовпцями.

   2. Визначник змінить знак на протилежний, якщо переставити місцями два рядки (два стовпці).

   3. Спільний множник усіх елементів рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.

   4. Визначник дорівнює нулю, якщо:

      1. всі елементи рядка (стовпця) дорівнюють нулю;

      2. два рядки (стовпці) однакові;

      3. два рядки (стовпці) пропорційні.

   5. Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число.

   6. Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

Мінором елемента визначника називають визначник, утворений із даного визначника викреслюванням -го рядка та -го стовпця. Алгебраїчним доповненням елемента називають його мінор помножений на :

Визначники -го порядку обчислюють, використовуючи властивості 3.6 та 3.5.

Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1. Обчислити визначники:

1. а) ; б) ; 2. ; 3. .

► 1. а) . б)

2. ◄

На практиці зручно, коли частина елементів рядка (стовпця) дорівнює нулю (і чим більше нульових елементів, тим менше обчислень). Тому доцільно спочатку визначник перетворити так, щоб усі елементи деякого рядка (стовпця), крім одного, дорівнювали нулю, зазвичай використовуючи для цього властивості визначників (властивість 3.5). Тоді розклад визначника за елементами цього рядка (стовпця) містить лише один додаток.

Приклад 2.

П риклад 3. . Розв’язати рівняння:

► ◄

Вправи для самостійної роботи

Обчислити визначники:

1. . 2. 3. 4.

Розв’язати рівняння:

5. 6.

Відповіді: 1. -27. 2. 12. 3. 1. 4. 180. 5. {0; -2}. 6.

§2. Матриці Основні теоретичні відомості

Прямокутну таблицю

яка складається з елементів , називають матрицею - розмірності. Коротко матрицю позначають так:

Будь-якій квадратній матриці можна поставити у відповідність визначник (або , |А|)

Квадратну матрицю , визначник якої не дорівнює нулю, називають невиродженою. Якщо , то матрицю називають виродженою.

Дії над матрицями

Нехай - матриці однакової розмірності.

1. Сумою матриць є матриця рівна .

2. Добутком довільного дійсного числа на матрицю є матриця .

3. Різницю матриць визначають, як суму матриці і матриці помноженої на : .

4. Добуток матриць.

Операція множення матриць існує лише для узгоджених матриць. Матриці ( - перша матриця, - друга матриця) називають узгодженими, якщо кількість стовпців матриці дорівнює кількості рядків матриці . В цьому випадку

У загальному випадку .