КТЕ / Fizika / Lysenko_physics_lek_2

розділу середовищ, проведеною у точку падіння; відношення синуса кута падіння до синуса кута заломлення є величина стала для даних речовин (див. рис. 48.2):

буквою A (іноді Em ). Відповідно зміна у часі й просторі проекції світлового вектора на напрям, уздовж якого він коливається, описується рівнянням

Тут k – хвильове число; r – відстань, яка відлічується вздовж напрямку поширення світлової хвилі. Для плоскої хвилі, що поширюється в непоглинаючому світло середовищі, A = const , для сферичної хвилі A зменшується як 1/ r .

7 Частота видимих світлових хвиль знаходиться у межах

Частота зміни амплітуди, енергії світлової хвилі є дуже високою. Ні око, ні будь-який інший приймач світлової енергії не можуть прослідкувати за дуже швидкими змінами, внаслідок чого вони реєструють усереднений за часом потік енергії. Модуль середнього за часом значення густини потоку енергії, що переноситься світловою хвилею, називається

інтенсивністю світла I у даній точці простору. Густина потоку електромагнітної енергії визначається вектором Пойтінга S . Отже,

Відомо, що модулі амплітуд векторів E і H в електромагнітній хвилі пов'язані співвідношенням Em e0e = Hm m0m = Hm m0 (ми взяли μ =1). Звідси випливає, що

Hm = eEm e0 / m0 = nEm e0 / m0 ,

де n – показник заломлення середовища, у якому поширюється хвиля. Таким чином, Hm пропорційна Em та n : Hm ~ nEm . Модуль середнього значення вектора Пойтінга пропорційний Em Hm . Тому можна вважати, що

101

E= E1 + E2 ,

арезультуюча інтенсивність визначається як

Доданок 2 < E1 × E2 > у (48.11) називається інтерференційним доданком. З (48.11)

випливає, що коли інтерференційний доданок дорівнює нулю, то результуюча інтенсивність буде дорівнювати сумі інтенсивностей окремих світлових пучків, тобто явище інтерференції буде відсутнім.

Розглянемо більш детально інтерференційний доданок і з’ясуємо, за яких умов він не дорівнює нулю. Використовуючи (48.9) та (48.10), неважко отримати

відмінним від нуля, необхідно, по-перше, виконати умову Em1Em2 ¹ 0, тобто вектори Em1

та Em2 не повинні бути перпендикулярними один до одного. По-друге, необхідно, щоб

різниця фаз хвиль була постійною у часі. Це можливо, як випливає з (48.12), коли частоти обох хвиль є однаковими і різниця початкових фаз хвиль не залежить від часу:

Хвилі, для яких різниця фаз є постійною у часі, називають когерентними. Умова

(48.13) є умовою для когерентності хвиль.

102

9 Умови інтерференційного максимуму та мінімуму. Далі будемо вважати, що умови спостереження інтерференції є виконаними. З’ясуємо, за яких умов у точці спостереження P спостерігається максимум, а за яких – мінімум. З виразу (48.11)

випливає, що коли інтерференційний доданок набуває максимального значення, то ми будемо спостерігати максимум, а коли мінімального – мінімум. Ураховуючи (48.13), для інтерференційного доданка можемо записати

Тут ураховано, що згідно з (48.13) w1 = w2 = w , вектори Em1 і Em2 вважаємо паралельними. Далі використаємо співвідношення для фазових швидкостей хвиль u1 = c / n1 і u2 = c / n2 , початкові фази вважаємо такими, що дорівнюють нулю a1 = a2 = 0 . Тоді можемо записати

величина, що дорівнює різниці оптичних довжин n×l , які проходять хвилі, і називається

оптичною різницею ходу.

У цьому випадку cosδ = 1 і набуває максимального значення. Коли ж використати (48.16) та (48.17), то отримаємо, що максимум має місце, коли оптична різниця ходу дорівнює цілому числу довжин хвиль у вакуумі:

Таким чином, умови (48.18) і (48.19) є умовами інтерференційного максимуму.

Мінімальне значення інтерференційного доданка буде тоді, коли cosδ = −1, тобто

Ця умова відповідає тому, що дорівнює напівцілому числу довжин хвиль у вакуумі:

1 Як з’ясовано вище, необхідною умовою існування інтерференції є постійність у часі різниці фаз хвиль. Тобто частоти хвиль, які беруть участь у інтерференції, повинні бути однаковими, різниця початкових фаз хвиль не повинна залежати від часу.

Хвилі, для яких умова постійності у часі різниці фаз виконується називають когерентними. Когерентністю називають узгоджене проходження декількох коливальних або хвильових процесів.

2 У природній світловій хвилі амплітуда, частота і початкова фаза за достатньо тривалий проміжок часу неперервно хаотично змінюються. Тобто різниця фаз набуває з

103

однаковою ймовірністю будь-яких значень. Тому інтерференційний доданок дорівнює нулю. Таким чином, природне світло є некогерентним й інтерференції не створює.

Причини некогерентності природного світла пов’язані з механізмом випромінювання

світла атомами. Атом випромінює світло протягом ~ 10−8 с, коли переходить із збудженого стану в звичайний. За цей час створюється цуг хвилі довжиною ~ 3 м. Через деякий час атом знову випромінює новий цуг світлової хвилі. Але початкова фаза нового цугу має випадкових характер і не пов’язана з фазою попереднього цугу. Також зрозуміло, що цуги, які утворюються різними атомами, мають різні початкові фази. Таким чином, природне світло, яке створюється як різними цугами одного і того ж атома, так і різними цугами різних атомів, є некогерентним.

3 Виберемо деяку точку і будемо спостерігати, як змінюються в ній початкові фази світлових хвиль. Зрозуміло, що фаза світлової хвилі, яка випромінюється одним атомом, залишається незмінною лише у межах одного цугу. Розглянемо світло, яке створюється багатьма атомами. Коли вибрати достатньо малий час спостереження, то може статися, що основна кількість цугів (від різних атомів) проходить через точку спостереження, не перериваючись і пам’ятаючи свої початкові фази. Тільки невелика кількість цугів змінює одна одну. За рахунок цього буде мати місце зміна результуючої початкової фази. Час, за який випадкова зміна фази досягає значення π , називають часом когерентності.

4 Відстань lког = ctког , на яку переміщується хвиля за час когерентності, називається

довжиною когерентності. Зрозуміло, що довжина когерентності дорівнює відстані між двома точками вздовж напрямку поширення світла, у яких випадкова зміна фази досягає значення π . Для сонячного світла довжина когерентності дорівнює ~ 0,3 мм.

5 У світловій хвилі амплітуда та фаза коливань змінюються не тільки вздовж напрямку поширення, а й у площині, яка перпендикулярна до цього напрямку. Це пов’язано з тим, що різні ділянки джерела світла у поперечній площині випромінюють неузгоджено – з випадково змінною фазою. Випадкові зміни різниці фаз коливань у двох точках цієї площини збільшуються з відстанню між ними. Відстань ρког між двома точками, що лежать у

площині, яка є перпендикулярною до напрямку поширення світла, у яких різниця фаз досягає значення порядку π , називається радіусом когерентності. Якщо джерело світла має форму диска, діаметр якого видно з даної точки спостереження під кутом ϕ , то, як показують розрахунки,

ρког ~ λ / ϕ ,

де λ – довжина хвилі. Для сонячного світла радіус когерентності має значення порядку

0,05 мм.

§ 50 Дослід Юнга. Ширина інтерференційних смуг [10]

1 Томас Юнг уперше в 1803 році спостерігав явище інтерференції світла, вперше визначив довжину світлової хвилі. Схема досліду зображена на рис. 50.1. Яскравий пучок світла від Сонця падав на екран з малою вузькою щілиною S . Світло від щілини S йшло до другого екрана із двома вузькими щілинами S1 і S2 , які були розміщені одна відносно іншої на відстані d . Перший екран з отвором S був призначений для збільшення радіуса когерентності. Завдяки цьому, щілини S1 і S2 можна було розмістити одна відносно іншої на відстані декількох міліметрів і світло від цих джерел залишалося когерентним. Джерела

104

max d

Тут l = l0 / n – довжина хвилі у середовищі, що заповнює простір між джерелами світла й

екраном.

Відстань між двома сусідніми максимумами інтенсивності називають відстанню між інтерференційними смугами, а відстань між сусідніми мінімумами інтенсивності –

шириною інтерференційної смуги. Неважко з’ясувати, що відстань між смугами й ширина

світла дорівнює λ = 620 нм. Таким шляхом уперше Юнг виміряв довжини світлових хвиль.

§ 51 Дзеркала Френеля. Ширина інтерференційних смуг [5]

1 Розглянемо інтерференційну схему, яка використовує відбиття для розділення світлової хвилі на дві частини. Ця схема отримала назву дзеркал Френеля.

Два плоских дотичні дзеркала OM та ON розміщуються так, що їх поверхні, які відбивають, утворюють кут, близький до π (рис. 1). Відповідно кут ϕ (див. рис. 51.1) дуже

малий. Паралельно лінії перетинання дзеркал O на відстані r від неї розміщене прямолінійне джерело світла S (наприклад, вузька щілина, яка світиться). Дзеркала відбивають на екран E дві циліндричні когерентні хвилі, які поширюються так, ніби вони вийшли з уявних джерел S1 і S2 . Непрозорий екран E1 знаходиться на шляху світла від джерела S до екрана E .

E

E1

S1 r

ϕ

d ϕ r 0

S2

ϕ N

Q

l

Рисунок 51.1 – Дзеркала Френеля. Інтерференція спостерігається в області OPQ , у якій відбиті хвилі накладаються одна на одну

Промінь OQ являє собою відбиття променя SO від дзеркала OM , промінь OP – відбиття променя SO від дзеркала ON . Кут між ÐS1SS2 дорівнює ϕ (як кути між відповідними взаємно перпендикулярними прямими). Оскільки S та S1 розміщені відносно дзеркала OM симетрично, довжина відрізка OS1 дорівнює OS , тобто r . Аналогічні міркування приводять до того ж результату для відрізка OS2 . Таким чином, відстані від

106

d = 2r sin ϕ ≈ 2rϕ .

На рис. 1 бачимо, що a = r cosϕ ≈ r . Отже, відстань l між уявними когерентними джерелами та екраном E буде дорівнювати

§ 52 Інтерференція світла при відбитті від тонких плівок. Різниця ходу променів. Смуги рівного нахилу. Смуги рівної товщини [5]

променем). При вході в пластинку й виході з неї другий пучок заломлюється. Крім цих двох пучків, пластинка відбиває вгору пучки, що виникають у результаті три-, п'яти- і т.д. кратного відбиття від поверхонь пластинки. Однак через їхню малу інтенсивність ми ці пучки брати до уваги не будемо. Не будемо також цікавитися пучками, що пройшли через пластинку.

Різниця ходу, що отримується променями 1 і 2 до того, як вони зійдуться в точці C ,

заломлення пластинки. Показник заломлення середовища, що оточує пластинку, беремо таким, що дорівнює одиниці. З рис. 52.1 видно, що l1 = 2b×tgq2 sin q1 , l2 = 2b / cosq2 ( b – товщина пластинки). Підстановка цих значень у вираз (52.1) дає, що

107

При обчисленні різниці фаз δ між коливаннями у променях 1 і 2 потрібно, крім оптичної різниці ходу , врахувати можливість зміни фази хвилі при відбитті. У точці C (див. рис. 52.1) відбиття проходить від оптично більш густого середовища. Тому фаза хвилі 1 змінюється на π . У точці O відбиття проходить від менш густого середовища, тому стрибка фази тут не відбувається. У результаті між променями 1 і 2 виникає додаткова різниця фаз, що дорівнює π . Її можна врахувати, додавши до (або віднявши від неї) половину довжини хвилі у вакуумі. У результаті отримаємо різницю ходу променів, які інтерферують у плівці:

точках на поверхні пластинки може виникати максимум інтерференції для світла якоїсь однієї довжини хвилі λ ; інакше кажучи, при освітленні пластинки білим світлом вона матиме один колір. Можливі інші випадки.

Коли кут падіння q1 скрізь однаковий, а товщина пластинки різна, тоді максимум інтерференції світла довжини хвилі l1 буде в точках, що відповідають товщині пластинки d1 , а максимум для хвилі l2 – у точках, що відповідають товщині d2 і т. д. У результаті

інтерференції на пластинці утворяться кольорові смуги, які позначатимуть місця однакової товщини пластинки або плівки, їх називають смугами однакової товщини. Такі кольорові смуги можна спостерігати на дорогах після дощу, де розлите мастило чи пальне, на плоскій мильній плівці тощо.

Може бути, що кут падіння q1 в різних точках набуває різних значень (наприклад, при освітленні пластинки точковим джерелом світла), а товщина пластинки d при цьому залишається незмінною. Тоді максимум для хвиль l1 виникатиме в точках, де кут падіння q1 , а для хвиль l2 – де кут падіння q2 і т.д. У результаті інтерференції на пластинці

утворяться кольорові смуги, які позначатимуть місця однакового нахилу світлових променів; їх називають смугами однакового нахилу.

§ 53 Кільця Ньютона. Радіуси темних і світлих кілець [5]

1 Класичним прикладом смуг однакової товщини є кільця Ньютона (див. рис. 53.1). Вони спостерігаються при відбитті світла від системи, що складається з дотичних товстої плоскопаралельної пластинки й плоскоопуклої лінзи з великим радіусом кривизни

(рис. 53.2). Роль тонкої плівки, від поверхонь якої відбиваються когерентні хвилі, відіграє повітряний зазор між пластинкою й лінзою (внаслідок великої товщини пластинки й лінзи

108