Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / ДНК наномеханические роботы и вычислительные устройства (Попов), 2008, c.210

{ (p[1],1), (p[1],p[2]), (1,p[2]) },

где команда (p[1],p[2]) требует поворота обеих камер, а команды (p[1],1) и (1,p[2]) –

только первой и только второй, соответственно. Таким образом, теоретико-графовая модель для этого робота представляет собой граф, имеющий mn вершин, из каждой из которых выходит три ребра, взвешенных командами

(p[1],1), (p[1],p[2]), (1,p[2]),

соответственно. Легко понять, что вместо этого графа можно рассмотреть два графа,

каждый из которых представляет одну камеру как самостоятельное устройство. Эти графы будут иметь m и n вершин, соответственно. Следовательно, мы получим квадратичное уменьшение модели. Легко понять, что при увеличении количества камер мы получим экспоненциальную экономию от числа камер. Однако подобная экономия возможна далеко не всегда, поскольку переход к моделированию отдельных узлов требует наличия у роботизированной системы независимых узлов. Например, система из двух манипуляторов, способных передавать друг другу предметы, не может быть разделена на два узла, поскольку при передаче предмета необходимо взаимодействие обоих манипуляторов. Более того, даже если отдельные части робота не вступают в непосредственный контакт, разделение может оказаться невозможным (например,

роботизированная система может потерять равновесие и т.д.).

В качестве разумного компромисса между теоретико-графовым подходом и подходом, основанным на использовании динамических логик, в этой работе мы рассмотрим алгебраический подход к описанию изменения состояния системы в зависимости от действий.

Произвольный робот R можно рассматривать как некоторую конечную систему

узлов

A[1], A[2], … , A[n]

181

доступных для управления. При этом каждый из узлов A[i] может принимать конечное множество состояний

a[i,1], a[i,2], … , a[i,p[i]].

Совокупность состояний отдельных узлов

a[1,j[1]], a[2,j[2]], … , a[n,j[n]]

в некоторый момент времени полностью определяет состояние всего робота в этот момент времени. Соответственно, для того чтобы изменить состояние робота,

необходимо изменить состояния некоторых из его узлов.

Без ограничения общности можно предполагать, что каждый из узлов управляется конечной системой команд. При этом системы команд различных узлов не пересекаются.

Пусть система команд узла A[i] имеет вид

b[i,1], b[i,2], … , b[i,q[i]].

Для удобства мы будем полагать, что

b[i,1]=1

для любого i. При этом единичную команду мы будем рассматривать как отсутствие команды. Совокупность команд отдельных узлов

b[1,j[1]], b[2,j[2]], … , b[n,j[n]]

в некоторый момент времени полностью определяет действие в этот момент времени.

Рассмотрим полугруппу с внешне присоединенным нулем, порожденную множеством элементов

182

Ʃ = Φ Ψ,

где

Φ = Φ[1] … Φ[n],

Φ[i] = { a[i,j] : 1 ≤ j ≤ p[i] },

Ψ = Ψ[1] … Ψ[n],

Ψ[i] = { b[i,j] : 1 ≤ j ≤ q[i] },

и заданную множеством определяющих соотношений Q[0], где

Q[0] = Q[0,1] Q[0,2] Q[0,3] Q[0,4] Q[0,5],

Q[0,1] = { a[i,j]a[s,t] = a[s,t]a[i,j] :

1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ s ≤ n,

1 ≤ j ≤ p[i],

1 ≤ t ≤ p[s] },

Q[0,2] = { b[i,j]b[s,t] = b[s,t]b[i,j] :

1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ s ≤ n,

i s,

183

1 ≤ j ≤ q[i], 1 ≤ t ≤ q[s] },

Q[0,3] = { a[i,s]b[j,t] = b[j,t]a[i,s] :

1 ≤ i ≤ n,

1 ≤ j ≤ n,

i j,

1 ≤ s ≤ p[i],

1 ≤ t ≤ q[j] } ,

Q[0,4] = { a[i,s]a[i,t] =0 :

1 ≤ i ≤ n,

1 ≤ s ≤ p[i],

1 ≤ t ≤ p[i] },

Q[0,5] = { b[i,t]a[i,s] = 0 :

1 ≤ i ≤ n,

1 ≤ s ≤ p[i],

1 ≤ t ≤ q[i] }.

184

Эту полугруппу мы будем называть базовой полугруппой робота R и обозначать S(R).

Полугруппа S(R) при помощи своего множества определяющих соотношений задает пространство действий робота R. В дальнейшем для нас будут также представлять интерес фактор-полугруппы полугруппы S(R), задаваемые в ней системой определяющих соотношений Q, где

Q = Q[0] Q[1] Q[2] Q[3] Q[4],

Q[1] { a[i,s]b[i,j] = a[i,t] :

1 ≤ i ≤ n,

1 ≤ s ≤ p[i],

1 ≤ t ≤ p[i],

1 ≤ j ≤ q[i] },

Q[2] { aa[i,s]b[i,j] = aa[i,t] :

1 ≤ i ≤ n,

1 ≤ s ≤ p[i],

1 ≤ t ≤ p[i],

1 ≤ j ≤ q[i],

a Φ+ },

Q[3] { a[i[1],s[1]]b[i[1],j[1]]a[i[2],s[2]]b[i[2],j[2]] … a[i[r],s[r]]b[i[r],j[r]] =

185

a[i[1],t[1]]a[i[2],t[2]] … a[i[r],t[r]] :

1 ≤ i[1] < i[2] < … < i[r] ≤ n,

1 ≤ s[1] ≤ p[i[1]], 1 ≤ s[2] ≤ p[i[2]], … , 1 ≤ s[r] ≤ p[i[r]],

1 ≤ t[1] ≤ p[i[1]], 1 ≤ t[2] ≤ p[i[2]], … , 1 ≤ t[r] ≤ p[i[r]],

1 ≤ j[1] ≤ q[i[1]], 1 ≤ j[2] ≤ q[i[2]], … , 1 ≤ j[r] ≤ q[i[r]] },

Q[4] { aa[i[1],s[1]]b[i[1],j[1]]a[i[2],s[2]]b[i[2],j[2]] … a[i[r],s[r]]b[i[r],j[r]] =

aa[i[1],t[1]]a[i[2],t[2]] … a[i[r],t[r]] :

1 ≤ i[1] < i[2] < … < i[r] ≤ n,

r < n,

1 ≤ s[1] ≤ p[i[1]], 1 ≤ s[2] ≤ p[i[2]], … , 1 ≤ s[r] ≤ p[i[r]],

1 ≤ t[1] ≤ p[i[1]], 1 ≤ t[2] ≤ p[i[2]], … , 1 ≤ t[r] ≤ p[i[r]],

1 ≤ j[1] ≤ q[i[1]], 1 ≤ j[2] ≤ q[i[2]], … , 1 ≤ j[r] ≤ q[i[r]],

a ((Φ[1] … Φ[n] ) \ (Φ[i[1]] … Φ[i[r]]))+ } .

Множество Q[1] определяет изменения состояний узлов робота, не зависящие от текущих состояний других узлов. Множество Q[2] задает изменения состояний узлов,

которые возможны лишь в том случае, когда некоторые другие узлы находятся в подходящих состояниях. Системы Q[3] и Q[4] определяют изменения состояний узлов,

186

которые должны происходить синхронно. При этом множество Q[3] задает

синхронные изменения состояний узлов робота, не зависящие от текущих состояний других узлов. Соответственно множество Q[4] задает синхронные изменения состояний узлов, которые возможны лишь в том случае, когда некоторые другие узлы находятся в подходящих состояниях. Несложно проверить, что если для некоторого i, 1 ≤ i ≤ n,

слово w Ʃ+ содержит более одного вхождения букв из множества Φ[i], то в полугруппе S(R) слово w равно нулю. Кроме того, произвольное слово w Ʃ+ в

полугруппе S(R) представимо в виде

x[1]x[2] … x[n] 1,

где для любого i имеет место соотношение x[i] ( Φ[i] Ψ[i] )*. Отсюда вытекает, что произвольный элемент w полугруппы S(R) равен нулю или слову вида

x[1]x[2] … x[n],

где

x[1]x[2] … x[n] 1,

x[i] = y[i]z[i],

y[i] { 1 } Φ[i],

z[i] Ψ[i]*.

Такое представление элементов полугруппы S(R) будем называть каноническим. Для произвольной полугруппы S(R) по произвольному представлению элемента его каноническое представление может быть эффективно построено за полиномиальное время. Канонические представления ненулевых элементов полугруппы S(R) находятся

187

во взаимно однозначном соответствии с парами всевозможных состояний робота R и

потенциально применимых программ. Фактор-полугруппы полугруппы S(R),

получаемые добавлением некоторого множества определяющих соотношений Q,

определяют пространство состояний – действий робота R.

Следует отметить, что в худшем случае полугрупповая модель не дает преимущества по сравнению с графовой. Однако для того, чтобы достигнуть худшего случая необходимо, чтобы у робота все степени свободы во всех состояниях зависели друг от друга. Поскольку для ДНК характерно то, что подавляющее большинство взаимодействий определяется лишь несколькими соседними нуклеотидами, для ДНК наномеханических устройств полугрупповая модель сочетает компактность динамических логик и вычислительную эффективность графовых моделей.

В рамках только что рассмотренной модели применительно к ДНК наномеханическим устройствам попарное различие узлов A[1], A[2], … , A[n] и систем команд b[i,1], b[i,2], … , b[i,q[i]] обусловлено необходимостью обозначить позиции нуклеотидов в устройстве, к которым применяются действия. Однако поскольку количество типов нуклеотидов ограничено, в любом достаточно большом устройстве нуклеотиды одного и того же типа должны повторяться многократно в различных местах. Поэтому многие команды, различающиеся в модели, будут совпадать на физическом уровне. Следовательно, имеет смысл рассмотреть соответствие между множеством формальных программ F и множеством реальных команд E, выполняемых на физическом уровне. Будем говорить, что элемент x из F находится в отношении ρ с

элементом y из E, если модельная команда x кодирует команду y. Рассмотрим частично упорядоченные множества (P(F), ) и (P(E), ) всех подмножеств множеств Fи E,

соответственно. Это множества всех формальных программ и всех программ физического уровня. Бинарный контекст (см. [148]) (F,E,ρ) индуцирует соответствие Галуа (f,g) между множествами (P(F), ) и (P(E), ), задаваемое отображениями

f : X x X { y : y F, x ρ y },

g : Y y Y { x : x E, x ρ y }.

188

Соответствие Галуа (f,g) индуцирует оператор замыкания

h = g f

на множестве (P(F), ) (см. [149]):

X h(X);

X Y h(X) h(Y);

h(h(X)) = h(X).

Пусть L – множество всех элементов (X,Y) из декартова произведения (P(F), ) и (P(E), ) таких, что h(X) = X и f(X) = Y. На множестве L рассмотрим бинарное отношение , задаваемое соотношением

(X[1],Y[1]) (X[2],Y[2]) X[1] X[2].

Пара (L, ) является полной решеткой и называется решеткой Галуа бинарного контекста (F,E,ρ) (см. [150]). Решетка Галуа задает сжимающее отображение множества

(P(F), ) на (P(E), ).

Применение моделей и алгоритмов классической робототехники дает возможность проводить тестирование отдельных элементов наносистем на макроуровне. В частности, для структурного моделирования нанорешеток и наноустройств могут быть эффективно применены результаты исследований по разработке моделей и алгоритмов для метаморфных (metamorphic) или самореконфигурующихся (self-reconfigurable) роботов (см. [151] – [166]). Для исследования алгоритмов управления движением наномеханических роботов представляют существенный интерес также алгоритмы неголономного управления

189

движением роботов (см. [167] – [185]) и алгоритмы вероятностного управления движением роботов (см. [186] – [204]).

Совершенно естественно, что для ДНК наномеханических устройств пригодны многие идеи, модели и алгоритмы, разрабатываемые и применяемые для нанороботов в целом. В частности, ведутся исследования в области автоматического планирования

(см., например, [205] – [209]), моделирования представления знаний (см., например,

[210] – [212]), разработки систем управления механическим движением (см., например,

[213] – [220]), создания графических симуляторов (см., например, [221] – [225]).

Литература

1.Garzon M., Drumwright E., Deaton R., Renault D. Virtual test tubes: a new methodology for computing // Proceedings of 7th International Symposium on String Processing and Information Retrieval. IEEE Computer Society Press, 2000. P.116121.

2.Garzon M., Oehmen C. Biomolecular computation in virtual test tubes // Lecture Notes in Computer Science 2340. 2002. P.117–128.

3.Garzon M.H., Blain D.R., Neel A.J. Virtual test tubes // Natural Computing. 2004.

6.Nishikawa A., Yamamura M., Hagiya M. Dna computation simulator based on abstract bases // Soft Computing. 2001. V.5. P.25–38.

7.Bois J.S., Venkataraman S., Choi H.M.T., Spakowitz A.J., Wang Z., Pierce N.A. Topological constraints in nucleic acid hybridization kinetics // Nucleic Acids Research. 2005. V.33. P.4090–4095.

8.Dirks R.M., Bois J.S., Schaeffer J.M., Winfree E., Pierce N.A. Thermodynamic analysis of interacting nucleic acid strands // SIAM Rev. 2007. V.49. P.65–88.

190