Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / Наномеханика квантовых точек и проволок (Овидько), 2004, c.167

Рис. 4.8. Морфология поверхности к концу роста каждого слоя островков. При

низкой скороти роста происходит коагуляция островков, и их плотность посте­ пенно уменьшается (а). При высокой скорости роста формирование равновесных ансамблей островков не успевает завершиться (Ь) (из работы [127], с разрешения авторов).

корреляции КТ максимальна. В модели [287], учитывающей реальную фор­ му КТ, оказалась возможна как вертикальная корреляция, так и антикор­ реляция КТ, причем тип и степень корреляции зависели от размера КТ и

толщины разделяющего слоя.

Таким образом, результаты работ [106,111,113,114,127,220,260,283,286,

287] свидетельствуют о том, что упругое взаимодействие между КТ может вызывать их горизонтальное и вертикальное упорядочивание. Наиболее су­ щественными факторами, определяющими упорядочивание КТ, являются

толщина разделяющего слоя, упругая анизотропия, ориентация поверхно­

сти, форма КТ, а также скорость и время их роста. Для различных систем

70

-0.8 -0.5 -0.1

Рис. 4.9. Два ортогональных ряда винтовых дислокаций в подложке. (а) Геомет­ рия дислокаций в подложке. (Ь) Карта напряжений a z y , создаваемых на поверхно­ сти рядами винтовых дислокаций. Напряжения приведены в единицах ш». Гори­ зонтальные и вертикальные линии показывают положения дислокаций (из рабо­ ты [279], с разрешения авторов).

возможны различные типы упорядочивания, включая вертикальное упоря­

дочивание КТ, а также образование из них ГЦТ и ОЦТ решеток. Наличие пространственного упорядочивания КТ открывает возможность для получе­ ния однородных ансамблей КТ и их использования в современных высоких

технологиях.

4.3. ПРОСТРАНСТВЕННОЕУПОРЯДОЧИВАНИЕКВАНТОВЫХ ТОЧЕК НА ПОДЛОЖКАХС ДИСЛОКАЦИЯМИ

в предыдущем параграфе мы рассмотрели модели, описывающиепростран­ ственное упорядочивание КТ за счет действия полей напряжений ранее сформированных ансамблей КТ. Другим методом, позволяющим добить­ ся существенного горизонтального упорядочивания КТ, является внедре­ ние в подложку рядов винтовых или краевых дислокаций. Ряды винто­ вых дислокаций в подложке представляют собой малоугловую границу кручения, а ряды краевых дислокаций могут возникать на границе двух подложек для аккомодации возникающих в них напряжений несоответ­ ствия. Хорошо упорядоченныеряды таких дислокаций наблюдались в ряде экспериментов [48,54-57]. Пространственное упорядочивание квантовых точек путем внедрения в подложки краевых [254,255,257] или винто­ вых [256, 258] дислокаций наблюдалось в системах Ge/Si [254,256,258]

и InAs/GaAs [255,257].

Влияние двух ортогональных рядов винтовых дислокаций в подложке на пространственное расположение растущих на ней островков (рис. 4.9а)

71

впервые теоретически изучалось в работе [279]. В системе координат, изоб­ раженной на рис. 4.9а, линии винтовых дислокаций были параллельны осям у и z, а их векторы Бюргерса были равны соответственно Ьеу и Ье: Расстояние между дислокациями предполагалось равным l, и они распо­ лагались на расстоянии h от свободной поверхности. Поле напряжений, создаваемое на свободной поверхности х ~ О двумя ортогональными ряда­ ми винтовых дислокаций, имеет единственную иенулевую компоненту a y z' В случае упругой изотропии подложки выражение для a y z имеет вид [279]

w здесь представляет собой угол разориентации малоугловой границы кру­ чения, образуемой рядами винтовых дислокаций. Напряжение a y z на по­ верхности характеризует плотность упругой энергии w на этой поверхно­ сти. Заметим, что при наличии смачивающего слоя w представимо в виде

w ~ w d + w f + w d - f , где w d ~ a;z/(2JL) - плотность собственной упругой энергии, запасаемой рядами дислокаций, w f - плотность упругой энергии, связанной с напряжениями несоответствия в смачивающем слое, а w d- f -

плотность энергии взаимодействия напряжений несоответствия с дислока­

циями. Для винтовых дислокаций w d - f ~ О. Поскольку »! представляет

собой постоянную величину, не зависящую от координат у и z, положения

островков на поверхности определяются только распределением плотности

упругой энергии w d .

В качестве иллюстрации распределение напряжений a y z (характеризу­

ющих также плотность упругой энегрии w d ) приведено на рис. 4.9Ь. Как видно из рис. 4.9Ь, значения a y z == О (характеризующие минимум плотно­ сти упругой энергии w) расположены в проиэвольных точках над диаго­ налями дислокационной сетки, в то время как максимальные по модулю значения a y z (соответствующие максимальным значениям w) расположены над серединами сторон квадратов дислокационной сетки. Очевидно, что в рассматриваемом случае точки минимума упругой энергии w, предпочти­ тельные для зарождения поверхностных КТ, не образуют какую-либо упо­ рядоченную структуру и поэтому не могут обеспечить пространственное упорядочивание КТ. Вместе с тем максимумы плотности упругой энергии

жет способствовать частичному или полному упорядочиванию КТ. Такое упорядочивание КТ, управляемое максимумами плотности упругой энер­ гии, было, в частности, обнаружено в компьютерных экспериментах [127].

В работе [288] наряду с упорядочиванием КТ на подложке с винтовы­ ми дислокациями исследовалась также возможность упорядочивания КТ на двухслойной подложке с краевыми дислокациями. Предполагалось. что

72

Х2

Substrate

Substrate

Х2

Рис. 4.10. Островок на двухслойной подложке с дислокациями, граница слоев которой характеризуется (а) несоответствием, (Ь) наклоном, (с) кручением (из

работы [288]).

двухслойная подложка состоит из полубесконечной подложки 1 и подложки 2 конечной толщины (рис. 4.10). Рассматривалось три типа границ меж­ ду подложками. Граница первого типа характеризовалась дилатационным несоответствием (рис. 4.1 Оа), граница второго типа представляла собой гра­ ницу наклона (рис. 4.10Ь), а граница третьего типа - границу кручения (рис. 4.10с). В случае границы первого типа несоответствие аккомодирова­ лось двумя рядами краевых дислокаций несоответствия с векторами Бюр­ герса в плоскости границы (рис. 4.10а). Граница наклона моделировалась двумя ортогональными рядами краевых дислокаций, векторы Бюргерса ко­ торых перпендикулярны границе (рис. 4.10Ь). Граница кручения моделиро-

73

валась двумя ортогональными рядами винтовых дислокаций (рис. 4.10с). Для всех трех случаев расечитывались напряжения, создаваемые рядами дислокаций на поверхности подложки 2. Предполагалось, что КТ на под­ ложке 2 зарождаются в местах, где их энергия будет минимальна. При этом энергия КТ предполагалась пропорциональной плотности упругой энергии, которая бы запасалась на поверхности смачивающего слоя, растущего на подложке 2. Таким образом, по сути в качестве параметра, характеризую­ щего пространственное расположение КТ, в [288] была выбрана плотность упругой энергии на поверхности. Для случая КТ, растущего на двухслой­ ной подложке с дислокациями несоответствия, были получен следующий основной результат. Оказалось, что при достаточно малой толщине h под­ ложки 2 (h/ А < 0.3, где А - расстояние между дислокациями) минимумы плотности упругой энергии w на поверхности располагаются над узлами дислокационной сетки или над центрами ее квадратов и тем самым образу­ ют квадратную решетку. Если граница между подложками 1 и 2 представ­ ляет собой границу наклона, минимумы w также расположены упорядочен­ но, однако уже не над вершинами или центрами квадратов дислокационной сетки, а в промежуточных точках над ее диагоналями. Для случая, когда граница подложек 1 и 2 представляет собой границу кручения и моделиру­ ется рядами винтовых дислокаций, в [288] был получен тот же результат, что и в работе [279]: минимумы w расположены в проиэвольных точках над диагоналями дислокационной сетки и не могут обеспечить простран­ ственного упорядочивания КТ.

Таким образом, в работах [279,288] было показано, что формирование в подложке периодических рядов дислокаций может приводить к простран­ ственному упорядочиванию КТ. Как показывают результаты работы [288], наиболее эффективный способ упорядочивания КТ с помощью дислокаций, по-видимому, заключается в формировании в подложке периодических ря­ дов дислокаций несоответствия. Для достижения выраженной модуляции плотности упругой энергии w, необходимой для упорядочивания КТ, рас­ стояние от дислокаций до свободной поверхности должно составлять деся­

тые доли расстояния между дислокациями.

В работах [279,288] в качестве параметра, характеризующего положе­ ния островков на подложке с дислокациями, была выбрана плотность упру­ гой энергии w на поверхности. В частности, при рассмотрении подложки с краевыми дислокациями [288] предполагалось, что поверхностные остров­ ки зарождаются в точках минимума плотности упругой энергии. Данное

предположение справедливо при малом расстоянии между дислокациями в

подложке. Между тем при наличии в подложке разреженных рядов дис­ локаций адатомы не успевают мигрировать к положениям минимума w. В этом случае расстояние между поверхностными островками может быть меньше расстояния между дислокациями в подложке. При этом зарожде­

ние поверхностных островков может происходить в местах, где плотность

упругой энергии w не имеет минимума. В этом случае рост поверхностных

74

локациями несоответствия на внутренней межфазной границе (из работы [289]).

островков может сопровождаться их миграцией к положениям равновесия. При миграции нескольких островков к одному положению равновесия по­ верхностные островки могут коагулировать или образовать скопление. Та­ ким образом, на пространственное расположение и размер островков на

подложках с дислокациями существенное влияние может оказывать взаи­

модействие островков не только с дислокациями, но и между собой. Учет такого взаимодействия был проведен в работе [289].

Модельная система, рассмотренная в [289], состояла из полубесконеч­ ной подложки (фазы 1), подложки 2 (фазы 2), а также возможного сма­ чивающего слоя и островков (фазы 3), растущих на подложке 2 или на смачивающем слое (рис. 4.11). Суммарная толщина подложки 2 и сма­ чивающего слоя была принята равной Н. Фазы 1, 2 и 3 предполагались упругоизотропными и имели равные значения модулей сдвига JL и коэффи­ циентов Пуассона и, Островки моделировались как правильные пирамиды, имеющие квадратное основание со стороной 2а. Несоответствие парамет­ ров кристаллических решеток подложки 1 и фазы 2 или 3 считалось чисто дилатационным и характеризовалось параметрами fi == 2(аl - ai) / (аl + ai), где аl - параметр кристаллической решетки подложки 1, а ai - параметр кристаллической решетки i-ой фазы (i == 2,3). Предполагалось,что грани­ ца подложке 1 и 2 содержит 2 ортогональных ряда дислокаций несоответ­

ствия, расположенных на расстоянии р друг от друга и аккомодирующих

несоответствие между подложками 1 и 2 (рис. 4.11).

Для анализа пространственного расположения островков рассчитыва­ лась энергия их взаимодействия между собой и с дислокациями несоответ­ ствия. Для этого предварительно рассчитывались деформации, создаваемые островками в подложке. Напряжения, действующие в островках, при этом были представлены в виде суммы напряжений, которые бы действовали в смачивающем слое, и дополнительных напряжений, необходимых для удо­ влетворения граничных условий на поверхности островков. Эти дополни­ тельные напряжения приводят к возникновению упругих сил, действующих со стороны островков на подложку и обеспечивающих взаимодействие меж­ ду островками. В первом приближении в [289] упругие силы, действующие

75

со стороны островка на подложку 2 или смачивающий слой, моделирова­ лись квадруполем сосредоточенных сил Р, приложенных к серединам сто­ рон основания островка В качестве иллюстрации направления сил F пока­ заны на рис. 4.12 для случая 1з > о. в цилиндрической системе координат (Т, <р, Z), связанной с островком и изображенной на рис. 4.12, деформации

E~jl, создаваемые таким квадруполем, имеют следующий вид [289]:

уе<р мых островками, анализировалось

Aer взаимодействие островков между

\/' собой и с дислокацияминесоответ­

сия сил притяжения, действующих на островки со стороны дислокаций, и сил отталкивания между островками. Предполагалось, что если на рас­ стоянии 2а между центрами островков силы притяжения превышают силы отталкивания, островки могут коагулировать. Так как сила притяжения со стороны дислокаций увеличивается при уменьшении расстояния от дис­ локаций до свободной поверхности, последний случай реализуется, если толщина Н подложки 2 меньше некоторого значения НО (Н < Но).

76

запасенной в подложке. С учетом корот­ тягивающиеся к узлу дислокаци­ кодействующего характера взаимодействия онной сетки двумя ортогональ­ между островками использовалось прибли­ ными дислокациями (из рабо­ жение взаимодействия между ближайши­ ты [289]).

ми соседями.

Чтобы рассчитать равновесное расстоя-

ние 2l между островками, вычислялась энергия взаимодействия островка

1 с дислокациями и островками 2 и 4. Для этого сначала рассчитывались

деформации E~Г и E~;), создаваемые островками 2 и 4 под островком 1.

При этом деформации, создаваемые островками 2 и 4 в основании остров­

ка 1, счигались постоянными и равными соответствующим деформациям в

центре основания этого островка. Деформации E~Г и E~;) определялись с

помощью (4.5а) и (4.5Ь) следующим образом:

Для расчета энергий взаимодействия дислокаций с островками рассчи­ тывались деформации, создаваемые парой дислокаций 1 и 2 под остров­ ком 1. Для простоты предполагалось, что размер основания островка мал по сравнению с толщиной подложки 2 (а « Н) и, следовательно, дефор­

мации, создаваемые дислокациями в основании островка, можно считать

постоянными.

Деформации €fj' создаваемые парой дислокаций в основании островка (рис. 4.13) рассчитывались по формуле [289]

77

где Ed == E~x == E~y, а Ь - величина вектора Бюргерса дислокаций. Упругая энергия ~W i sl взаимодействия островка 1 с дислокациями 1 и

2 и островками 2-4 определяласькак разность энергии W i sl островка при наличии дислокаций и других островков и энергии wdsl этого островка в

ней к основанию; а - коэффициент, учитывающий релаксацию напряжений

в островке (О < а < 1).

Энергия W i sl получалась из (4.9) заменой 1з на 1з + Ed(l) + Ei sl . В результате было получено следующее выражение для ~Wisl:

(4.10)

Для вычисления силы Р, входящей в (4.7), напряжения, действующие

в островке, были представлены в виде суммы напряжений a?j' которые действовали бы в тонкой пленке, и напряжений a~j' связанных с релак­ сацией напряжений в островке и обеспечивающих выполнение условия

a~n + а'nn == a~T + а'nт == О на боковых гранях островка, где n - на­

правление нормали к боковой грани, а ось т расположена в плоскости этой боковой грани (рис. 4.14). Напряжениям a~j эквивалентны силы изображе­ ния р (рис. 4.14а), распределенные по боковым граням островка и равные по величине Р == aosin(), где

где К == ((3а3 t an ()) / (41Гl3) « 1.

78

n

n

2 1

F

Рис. 4.14. Силы, с которыми островок действует на подложку. (а) Силы р, распре­ деленные по боковым граням островка. (Ь) Сосредоточенные силы F, эквивалент­ ные силам р (из работы [289]).

Из (4.15) и условия l == а (соответствующего случаю, когда в равновесии края островков соприкасаются) рассчитывалась наибольшая толщина Но подложки 2, при которой может произойти коагуляция островков:

Как следует из (4.16), Но уменьшается при уменьшении размера островков или увеличении несоответствия 1з и, напротив, увеличивается при умень­ шении [г: в частном случае идентичности материалов подложки 1 и ост­ ровков имеем: 1з == о. Тогда формула (4.16) дает: Но == 00, то есть в этом

79