Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / Наномеханика квантовых точек и проволок (Овидько), 2004, c.167

ем однородности их формы: с увеличением числа слоев форма оснований первоначально неравноосных КТ приближается к квадратной. Улучшение однородности КТ по размерам авторы [278] объясняют следующим обра­ зом. ~аленький островок образует на поверхности область растяжения, большую по сравнению с его размером, что приводит к увеличению раз­ мера формирующихся над ним КТ в последующих слоях. Напротив, боль­ шой островок создает на поверхности область растяжения, размер которой близок к размерам этого островка. В результате размеры образующихся над ним КТ медленнее растут с увеличением числа слоев и могут даже уменьшаться. Аналогичным образом объясняется и улучшение однородно­ сти формы КТ: с ростом числа слоев маленькие боковые грани островков растут быстрее, чем большие.

В работах [106,260] КТ моделировались как изотропные сферические Включения или неоднородности. В рамках этих моделей плотность w упру­ гой энергии на поверхности имеет единственный минимум над этой неодно­ родностью, что способствует вертикальной корреляции КТ в многослойных ансамблях. Такой же результат был получен в работе [279], в которой КТ моделирсвались изотропными эллипсоидальными включениями. Вместе с тем эксперименты по выращиванию многослойных ансамблей КТ показали, что в реальных многослойных ансамблях КТ возможны и другие типы упо­ рядочивания. В частности, КТ могут образовывать колонны, наклоненные к оси роста [270], объемноцентрированные тетрагональные (ОЦТ) [272] или гранецентрированные тригональные (ГЦТ) [280,281] решетки. Для объяснения наблюдаемых типов упорядочивания были предложены новые модели, учитывающие такие факторы, как упругая анизотропия матрицы, пирамидальная форма КТ или скорость и время роста каждого слоя КТ.

Учет упругой анизотропии был впервые проведен в работах [111,220]. Рассмотрим сначала модель [111], в то время как модель [220] будет изло­

жена ниже.

В работе [111] КТ в матрице моделирсвались как центры дилатации в полубесконечном кубическом кристалле. Деформации, создаваемые таки­ ми центрами дилатации, рассчитывались решением уравнений равновесия в Фурье-пространстве при заданных граничных условиях на свободной по­ верхности кристалла. Полные деформации на поверхности смачивающего слоя складывались из деформаций, создаваемых КТ, и деформаций несо­ ответствия в смачивающем слое. С помощью выражений для деформаций рассчитывалась плотность упругой энергии на поверхности смачивающе­ го слоя. Было показано, что в рамках выбранной модели распределение упругой энергии на поверхности смачивающего слоя определяется двумя основными параметрами: упругой анизотропией матрицы и ориентацией по­ верхности кристалла (рис. 4.3).

Первый из этих параметров, упругая анизотропия А, рассчитывается для кубических кристаллов по формуле А == 2С44/(Сll - С12), где Сll, С12 и С44 - упругие модули кубического кристалла. Для изотропных материалов

60

Рис. 4.3. Карты безразмерной плотности упругой энергии р(х,у) над квантовой точкой, расположенной на расстоянии 50 нм от поверхности, для РЬТе и Si как материалов матрицы и для ориентаций поверхности (001) и (111). Более темные области соответствуют меньшим значениям р и более выгодны для зарождения поверхностных КТ. Расстояние ~ между контурами одинаково для всех карт, кро­ ме (Ь), где показан лишь каждый второй контур (из работы [114], с разрешения авторов).

А == 1. Упругая анизотропия наиболее велика для соединений элементов 11 и УI группы ZnTe и ZnS (А > 2) и соединений полупроводниковых мате­ риалов IV и УI группы РЬТе и SnTe (А < 0.5). Для Si и Ge анизотропия не очень велика (А == 1.56 и 1.64 соответственно). Упругая анизотропия приво­ дит к возникновению в материалах "жестких" направлений (вдоль которых их труднее растянуть или сжать) и "мягких" направлений (вдоль которых растяжение или сжатие осуществить легче). Для случая, когда КТ рас­ тут вдоль жестких направлений, было показано, что минимум плотности w упругой энергии на поверхности смачивающего слоя становится глуб-

61

же с увеличением анизотропии, но положение этого минимума остается

непосредственно над островком в матрице. Напротив, в случае роста вдоль мягких направлений глубина минимума уменьшалась с увеличением ани­ зотропии. При превышении величиной А критического значения минимум w над островком трансформировался в несколько сторонних минимумов. Было отмечено, что для материалов и направлений роста с единственным центральным минимумом w КТ в многослойных ансамблях должны обра­ зовывать вертикальные ряды (при условии, что минимумы w достаточно глубоки, чтобы обеспечить вертикальное упорядочивание КТ). ДЛЯ других ориентаций поверхности оказалась выгодна корреляция КТ вдоль направ­ лений, наклоненных к оси роста. При наличии на поверхности нескольких

минимумов w эти минимумы определяют горизонтальное упорядочивание

КТ. В частности, для направления роста (111) и А « 1 три минимума w образуют равносторонний треугольник (рис. 4.3а). Как следствие, в этом случае выгодным оказывается гексагональное упорядочивание КТ в плос­ кости роста, а также упорядочивание трехмерного ансамбля КТ в гранецен­ трированную тригональную (ГЦТ) решетку. Для направления роста (001) и А » 1 четыре сторонних минимума плотности упругой энергии на по­ верхности (рис. 4.3d) способствуют упорядочиванию каждого двумерного ансамбля КТ в квадратную решетку (в плоскости роста), а трехмерного ансамбля КТ - в объемноцентрированную тетрагональную (ОЦТ) решетку.

В работе [111] (результаты которой изложены также в [114]) исследо­ валось также влияние упругой анизотропии на горизонтальное упорядочи­ вание многослойных ансамблей КТ, зафиксированное в [281]. Для этого авторы [111] провели моделирование роста многослойных ансамблей КТ. Моделирование было сходно с проведенным в работе [260], но в отличие от работы [260] рассматривало трехмерный случай и учитывало упругую анизотропию. Моделирование состояло из следующих шагов:

1) Задание случайных положений атомов.

2) Поверхностная диффузия этих атомов вдоль направлений градиента химического потенциала до достижения ими ближайших точек минимума упругой энергии w(x, у). Атомы, накапливающиеся в точках минимума w, создают КТ, размер которых пропорционален числу таких атомов.

3) Нанесение разделяющего слоя и расчет нового распределения w(x, у)

на поверхности.

Проведенное моделирование показало, что в отличие от двумерного слу­ чая, рассмотренного в [260], в трехмерном случае в упругоизотропных ма­ териалах вертикальная корреляция КТ не приводит к их горизонтальному упорядочиванию. Между тем при наличии упругой анизотропии появляется тенденция к горизонтальному упорядочиванию КТ. ДЛЯ КТ SiGe/Si(100) с небольшой упругой анизотропией эта тенденция довольно слаба, в то время как для сильно анизотропных КТ PbSe/PbEuTe возникает упорядочивание двумерных ансамблей КТ в гексагональную решетку, параметр которой за­

висит только от толщины разделяющих слоев.

62

Таким образом, проведенный в [111] учет упругой анизотропии пред­

сказывает возможность различных типов вертикального упорядочивания

трехмерных ансамблей КТ: вертикальную корреляцию КТ (проявляющую­ ся В образовании вертикальных или наклонных к оси роста колонн КТ), а также образование ГЦТ или ОЦТ решеток. Результаты этой модели объ­ ясняют эксперименты, в которых наблюдалась тригональная решетка КТ PbSe в матрице Pb1-хЕихТе [280,281] и тетрагональная решетка КТ CdSe

вматрице ZnSe [272].

Вработе [113] была экспериментально исследована зависимость верти­

кального упорядочивания многослойных ансамблей КТ PbSe на подложках Pb1-хЕихТе от толщины разделяющих слоев Pb1-хЕихТе. Было показано, что с увеличением толщины L разделяющих слоев изменяется тип верти­ кальной корреляции КТ. При L < 40 нм КТ образуют вертикальные колон­ ны, в то время как при L в интервале от 40 до 60 нм КТ образуют ГЦТ решетку. При L > 60 нм вертикальная корреляция КТ пропадает. Измене­ ние типа вертикальной корреляции с ростом толщины разделяющих слоев нельзя объяснить в рамках модели [111], в которой КТ рассматриваются как центры дилатации. Поэтому для объяснения изменения типа вертикального упорядочивания в [113] КТ моделировались как треугольные пирамиды, а создаваемые ими упругие поля и плотность упругой энергии w на поверх­ ности рассчитывались методом конечных элементов. Как и в работе [111], в модели [113] матрица и КТ предполагались кубическими кристаллами. В рамках этой модели было показано, что при большой толщине L разде­ ляющих слоев (L / а > 1, где а - длина основания КТ) плотность упругой энергии w на поверхности имеет 3 минимума, находящиеся в вершинах равностороннего треугольника. Такой же результат был получен ранее в модели [111], рассматривавшей КТ как центры дилатации. Однако при ма­ лой толщине разделяющих слоев (L/a < 1) учет пирамидальной формы КТ приводит К трансформации 3 минимумов w в одиночный минимум, располо­ женный над КТ. Таким образом, при малых толщинах разделяющих слоев (L/a < 1) КТ выгодно образовывать вертикальные колонны, а при несколь­ ко больших толшинах (L/a > 1) - ГЦТ решетку. При очень больших тол­ щинах разделяющих слоев упругие поля, создаваемые КТ на поверхности, становятся недостаточны для упорядочивания последующих слоев КТ.

В работах [106,111,113,260] в качестве параметров, определяющих упо­ рядочивание многослойных ансамблей КТ, были выбраны след тензор де­ формаций, химический потенциал или эквивалентная ему плотность упру­ гой энергии. Точки минимумов этих величин на поверхности являются цен­

трами притяжения адатомов и, следовательно, определяют предпочтитель­

ные места для зарождения КТ. Между тем данный подход не учитывает изменения значений этих параметров в процессе образования поверхност­ ных КТ, то есть рассматривает лишь начальную стадию зарождения та­ ких КТ. Альтернативой этому подходу является подход, предложенный в работе [220]. Этот подход основан на рассмотрении взаимодействия КТ в

63

матрице не с отдельными адатомами, а с уже образовавшимися поверхност­ ными островками заданного размера и формы. В качестве параметра, ми­ нимум которого определяет положения поверхностных КТ, здесь выступает энергия взаимодействия поверхностного островка с островками в матри­ це. Таким образом, данный подход, наоборот, не рассматривает начальную стадию образования поверхностных КТ и предполагает, что поверхностные КТ могут преодолеть энергетический барьер, связанный с их миграцией к положениям равновесия. В работе [220] в рамках данного подхода тео­ ретически исследовались две системы: ансамбли бесконечных проволок с прямоугольным поперечным сечением и ансамбли островков, имеющих фор­ му параллелепипедов с квадратным основанием. Первая система состояла

из периодического ряда проволок в матрице и параллельного ему периоди­

ческого ряда проволок на поверхности (рис. 4.4а). Вторая система состояла из квадратной решетки островков в матрице и параллельной ей квадратной решетки таких же поверхностных островков (рис. 4.4Ь). В обоих случаях предполагалось. что проволоки (или островки) имеют толщину в 1-2 моно­

слоя, что позволило в расчетах устремить толщину проволок и островков

В матрице к нулю. Таким образом, островки в матрице по сути моделиро­

вались как квадратные дислокационные петли, а проволоки в матрице -

как дислокационные диполи. Расстояния между проволоками и островка­ ми каждого слоя считалось фиксированным, а положения поверхностных островков (проволок) задавались горизонтальным смещением ряда (решет­ ки) поверхностных островков или проволок относительно ряда (решетки)

островков или проволок В матрице.

Для расчета энергий взаимодействия поверхностных островков или про­

волок с островками или проволоками в матрице поверхностные островки

ипроволоки моделировались как включения, которые наряду с тензором

собственной деформации, связанной с несоответствием, характеризуются тензором поверхностных напряжений. Последние появляются при учете за­ висимости поверхностной энергии кристалла от деформации. Для расчета энергий взаимодействия поверхностных островков или проволок С островка­ ми или проволоками в матрице в [220] использовалось приближение малых углов наклона, которое изложено в главе 3. В этом приближении, описы­

вающем поверхностные островки или проволоки с малыми углами наклона

боковых граней, упругие поля и энергии таких включений рассчитывают­ ся с помощью функции Грина для полубесконечной среды (для изотропных кристаллов) или ее двумерного Фурье-образа (для кристаллов с кубической симметрией).

Аналитические расчеты, проведенные в работе [220], дали следующий интересный результат. Оказалось, что для анизотропных кристаллов с ани­ зотропией А > 1 энергии взаимодействия между ансамблем поверхност­ ных островков или проволок И ансамблем таких островков или проволок В матрице представляют собой осциллирующие функции толщины h разделя­ ющего слоя, амплитуда колебаний которых постепенно уменьшается с ро-

64

I~t: I~t: I~t:

верхностных островков имеет ту же структуру, что и ансамбль островков в мат­ рице, но сдвинут относительно него как единое целое. (а) Каждый слой образует

одномерный ансамбль проволок. Показано поперечное сечение двухслойного ан­ самбля. (Ь) Каждый слой образует двумерный ансамбль квадратных островков. Показан вид сверху. Островки в матрице изображены штриховыми линиями, а

поверхностные островки - непрерывными линиями.

стом h. Следовательно, при А > 1 деформация, создаваемая на поверхности островками или проволоками в матрице, также является осциллирующей функцией толщины разделяющего слоя.

Анализ взаимодействия островков и проволок В матрице с поверхност­ ными островками или проволоками дал следующие результаты. В зависи­ мости от толщины разделяющего слоя и упругой анизотропии возможна

вертикальная корреляция островков или проволок, их вертикальная анти­

корреляция, а также другие типы упорядочивания (рис. 4.5, 4.6).

В случае вертикальной корреляции поверхностные островки или про­ волоки образуются непосредственно над островками или проволоками в матрице. В случае антикорреляции поверхностные проволоки формируются

над линиями, расположенными посередине между проволоками в матри­

це, а островки - над центрами квадратов решетки, образуемой центрами островков в матрице. Другие типы пространственного упорядочивания со­

ответствуют другим положениям равновесия поверхностных островков или

проволок. Наличие вертикальной антикорреляции в многослойных ансамб­ лях островков означает их упорядочивание в трехмерную ОЦТ решетку. Заметим, что в модели [220] различные типы вертикального упорядочива­

ния островков и проволок оказались возможны не только в анизотропном

случае, но и при наличии упругой изотропии. Данное обстоятельство свя­ зано с учетом в этой работе анизотропии формы КТ. Полученные в [220] результаты объясняют эксперименты по наблюдению вертикальной анти-

65

Zo

D

2.0

Ас

1.5

сА

Рис. 4.5. Диаграмма состояния двухслойного ансамбля проволок. Проволоки ори­ ентированы вдоль направления [010]. Параметр рВ характеризует упругую ани­ зотропию (для изотропного случая рВ = 1), Zo - толщина разделяющего слоя, D - расстояние между проволоками. С обозначает вертикальную корреляцию, А - антикорреляцию, 1 - промежуточное расположение проволок. Доля площади поверхности, занимаемой проволоками, равна 0.2 (из работы [220], с разрешения авторов).

корреляции островков CdSe в матрице ZnSe [272], а также нанопроволок

InAs в матрице Ino.52Alo.48As [282].

Исследование вертикальной корреляции многослойных ансамблях КТ было также проведено в работе [128]. В этой работе КТ моделировались как линзы (шаровые сегменты), а КТ и матрица предполагались кубиче­ скими кристаллами с одинаковыми упругими модулями. Предполагалось, что поверхностные КТ растут на смачивающем слое в местах минимума плотности упругой энергии. В результате расчетов была определена об­ ласть параметров (упругой анизотропии А и толщины разделяющего слоя Н), в которой выгодна вертикальная корреляция КТ (рис. 4.7). Было по­ казано, что вертикальная корреляция КТ возможна, если значения Н и А

достаточно малы.

Таким образом, модели [111,113,128,220] продемонстрировали зависи­ мость вертикального упорядочивания КТ от упругой анизотропии матрицы, формы КТ и толщины разделяющего слоя. Другим фактором, оказывающим влияние на пространственное упорядочивание ансамблей КТ, является ско­ рость роста кристалла. Для учета этого фактора в работах [127,283-285]

66

Рис. 4.6. Диаграмма состояния двухслойного ансамбля квадратных островков. (а) Проекция центра поверхностного островка на сверхрешетку, образуемую остров­ ками в матрице, характеризуется одним из 7 типов симметрии, показанных на рисунке. (Ь) Диаграмма состояния в координатах (рВ, zo/D). Параметр рВ ха­ рактеризуетупругуюанизотропию(для изотропногослучая рВ == 1), Zo - толщина разделяющего слоя, D - расстояние между островками. Доля площади поверхно­ сти, занимаемой островками, равна 0.35 (из работы [220], с разрешения авторов).

было проведено трехмерное компьютерное моделирование роста анизотроп­ ных однослойных [284,285] и изотропных многослойных [127,283] ансам­ блей КТ. В этих работах рассматривался случай роста КТ при высокой температуре, когда отсутствует фасетирование, а поверхностная энергия кристалла считалась изотропной. При этом слой КТ рассматривался как пленка переменной толщины, растущая на смачивающем слое, а сами КТ рассматривалась как гладкие выпуклые области этой пленки. Предполага­ лось, что изменение толщины в каждой точке такой пленки осуществляется за счет следующих процессов: осаждения атомов из газовой фазы, испаре­

ния атомов с поверхности пленки и миграции адатомов по поверхности

пленки. Предполагалось также, что локальное увеличение толщины плен­

ки V g в единицу времени, связанное с осаждением атомов на поверхность и

их испарением, пропорционально разности между химическим потенциалом

газовой фазы ~o + ~v И поверхностным химическим потенциалом ~. Исходя из этого, выражение для V g записывалось в виде V g == g(~o + ~v - ~), где 9 - параметр роста, зависящий от температуры, масс частиц газа и энер­

гий связи адатомов, а ~o - поверхностный химический потенциал плоской недеформированной пленки. Поверхностный химический потенциал ~, вхо­ дящий в это уравнение, рассчитывался по формуле (4.1), то есть определял-

67

и толщины разделяющего слоя Н на вертикальную корреляцию квантовых точек. Квантовые точки моделируются линзами (сферическими сегментами) высоты h (из работы [128], с разрешения авторов)

ся плотностью упругой энергии на поверхности и кривизной этой поверх­ ности. Локальное изменение толщины пленки V m (в единицу времени) за счет миграции адатомов записывалось в виде V m == D~s~, где ~B - двумер­ ный оператор Лапласа, D == Ds6s / (kBT ), Ds - коэффициент поверхностной диффузии, который предполагался не зависящим от деформации, 6в - тол­ щина диффузионного слоя, kB - постоянная Больцмана, а Т - абсолютная температура. В итоге суммарное локальное изменение толщины пленки V N В единицу времени записывалось в виде V N == V g +V m == g(~O +~v -~) + D~s~. Последнее равенство представляет собой кинетическое уравнение, описыва­ ющее изменение толщины пленки и формы ее поверхности со временем. В

свою очередь, временная зависимость толщины пленки определяет процесс

образования и эволюции ансамбля КТ.

ДЛЯ исследования кинетики образования и упорядочивания многослой­ ных ансамблей КТ было проведено трехмерное компьютерное моделирова­ ние. В качестве исходной системы при этом рассматривался тонкий сма­ чивающей слой на толстой подложке, параметры кристаллической решет­ ки которого отличаются от параметров кристаллической решетки подлож­ ки. Первоначально плоской поверхности деформированного смачивающего слоя задавалось малое случайное возмущение, наличие которого приводило

кразличию поверхностного химического потенциала различных точек по­

верхности смачивающего слоя и формированию областей, более выгодных для формирования островков. Для заданной формы поверхности рассчиты­ валась ее кривизна к, а также плотность упругой энергии w на поверхности

68

пленки. Напряженное состояние в пленке при этом рассчитывалось мето­ дом конечных элементов. После численного расчета w и к по формуле (4.1) рассчитывался химический потенциал ~, а с его помощью - скорость роста поверхности V n . В результате рассчитывалась форма поверхности через вре­ менной интервал ~t. Затем указанная процедура повторялась до окончания формирования первого двумерного ансамбля КТ. После образования перво­ го двумерного ансамбля КТ на него наносился разделяющий слой, поверх которого добавлялся смачивающий слой. Затем моделировался рост второ­ го двумерного ансамбля КТ на смачивающем слое. Моделирование роста второго двумерного ансамбля КТ осуществлялось тем же образом, что и моделирование роста первого двумерного ансамбля, но учитывало создава­ емые этим двумерным ансамблем напряжения. После этого вся процедура расчетов повторялась для последующих двумерных ансамблей КТ. Таким образом для каждого двумерного ансамбля КТ были рассчитаны размер и форма всех КТ, их положения и пространственная ориентация.

В результате проведенного в [127,283] моделирования были получены следующие результаты. Оказалось, что даже для изотропного случая в за­ висимости от времени и скорости роста КТ и толщины разделяющего слоя возможны различные типы пространственной организации КТ, включая возможности их вертикальной корреляции или антикорреляции. Важным параметром, определяющим вид ансамблей КТ, здесь является отношении скоростей поверхностной диффузии и скорости роста. При низкой скорости роста возможна коагуляция КТ, приводящая к уменьшению их плотности (рис. 4.8а). Напротив, при высокой скорости роста процесс формирование КТ не успевает завершиться (рис. 4.8Ь). Между тем в определенной обла­ сти значений времени и скорости роста КТ и толщины разделяющего слоя оказалось возможно упорядочивание трехмерного ансамбля КТ в регуляр­ ную ОЦТ решетку с фиксированным расстоянием между КТ, не зависящим

от скорости их роста.

Еще один подход, использованный для анализа вертикального упорядо­ чивания многослойных ансамблей КТ, основан на моделировании диффу­ зии адатомов по поверхности методом Монте-Карло. В рамках этого метода образование КТ рассматривается как совокупность процессов осаждения

атомов и миграции адатомов, причем вероятности осаждения атомов или

скачков адатомов в заданном направлении определяются распределением

поверхностного химического потенциала. Данный метод был применен в работах [286,287] для анализа вероятности корреляции или антикорреля­ цИИ КТ в зависимости от толщины разделяющего слоя. В обеих работах КТ и матрица предполагались упругоизотропными материалами. В рабо­ те [286] упругие поля, создаваемые КТ в матрице, моделировались полями, создаваемыми центрами дилатации, в то время как в [287] учитывалась реальная форма КТ. В результате для случая [286], когда КТ в матрице моделировались центрами дилатации, было предсказано наличие оптималь­ ной толщины разделяющего слоя, при которой вероятность вертикальной

69