Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / Наномеханика квантовых точек и проволок (Овидько), 2004, c.167

ровков (хижины, пирамиды, усеченные пирамиды, купола, конические ост­ ровки) близки по форме к нанопроволокам или аксиально симметричным островкам и нередко моделируются последними [239-241], в следующих параграфах мы изложим этот подход и получим известные формулы для упругих полей и энергий поверхностных ступенек, нанопроволок и акси­ ально симметричных островков. В качестве частных случаев полученных решений будут приведены выражения для упругих полей и энергий тре­

угольных призматических нанопроволок и конических островков.

В параграфе 3.1 мы рассмотрим методику расчета упругих полей и энер­ гий изолированных прямолинейных ступенек и их ансамблей, основанную

на учете создаваемых ступеньками сил поверхностного натяжения и сил

изображения. Затем в параграфе 3.2 мы рассмотрим нанопроволоки с ма­ лыми углами наклона боковых граней. При расчете упругих полей пере­ мещений и энергий таких нанопроволок мы для простоты пренебрежем слабым влиянием сил поверхностного натяжения, действующих на ребрах таких нанопроволок. Поля перемещений и энергии нанопроволок мы полу­ чим с помощью непрерывного распределения прямолинейных ступенек по поверхности основания нанопроволок. Наконец, в параграфе 3.3 мы приве­ дем выражения для упругих полей и энергий круговых ступенек. С помо­ щью непрерывного распределения таких ступенек будут выведены формулы для упругих полей и энергий произвольных аксиально симметричных ост­ ровков и, в частности, островков, имеющих форму конуса.

3.1. ПОЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙИ ЭНЕРГИИ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХПОВЕРХНОСТНЫХ

СТУПЕНЕК

Рассмотрим сначала прямолинейную ступеньку бесконечной длины и ма­ лой высоты h на первоначально плоской поверхности недеформированного кристалла (рис. 3.1). На свободной поверхности кристалла со ступенькой действуют силы поверхностного натяжения F и <Е (на единицу длины ступеньки), которые стремятся изменить (как правило, уменьшить) пло­ щадь поверхности кристалла. Эти силы образуют диполь, расположенный на краях ступеньки, а их направления показаны на рис. 3.1.

Для расчета сил поверхностного натяжения, действующих в кристалле со ступенькой, введем понятие поверхностных напряжений, впервые пред­ ложенное Гиббсом [248]. Для этого рассмотрим произвольную (не обяза­ тельно плоскую) поверхность, на которой введена система ортогональных координат Хl и Х2. Эта поверхность характеризуется удельной поверхност­ ной энергией "'(, завиясящей от координат Хl и Х2 И деформации поверхно­ сти Еа{3 (а, (3 ~ 1,2). Поверхностнуюэнергию "'( можно разложить в ряд по деформациям Еа{3. Рассмотрим случай малых деформаций, для которого в

разложении можно ограничиться слагаемыми нулевого и первого порядка

40

края ступеньки.

относительно Ea~. В этом случае удельная поверхностная энергия ~ пред­ ставима в виде [17]

(3.3)

где то - удельная энергия недеформированной поверхности, а Ta~ - тензор поверхностных напряжений, компоненты которого не зависят от деформа­ ций поверхности Ea~' Главные значения тензора Ta~ могут быть как по­ ложительными (растягивающими), так и отрицательными (сжимающими). Растягивающее поверхностное напряжение соответствует поверхности, ко­ торой выгодно сжиматься, в то время как сжимающее напряжение соот­ ветствует поверхности, которой выгодно растягиваться. Для большинства поверхностей твердых тел поверхностные напряжения являются растяги­

вающими, в то время как сжимающие поверхностные напряжения извест­

ны для поверхности Si(OOI) в направлении, перпендикулярном димерам (см. [17] и ссылки в этой работе).

Заметим, что поверхностные напряжения Ta~, определяющиеся соотно­ шением Ta~ == д~/ дEa~, вводятся аналогично объемным упругим напряже­ ниям (J'ij, связанными с объемной плотностью w упругой энергии соотно­ шением (J'ij == aw/aEij (i,j == 1,2,3). Физически абсолютные величины по­ верхностных напряжений Ta~ можно трактовать как величины внутренних сил, действующих вдоль поверхности на малый контур, перпендикулярный линии Ха, В направлении координатной линии X~, отнесенные к единице длины этого контура. Как и для объемных упругих напряжений, для по­ верхностных напряжений должны выполняться уравнения равновесия. Эти уравнения имеют вид [17]: "\1 s . т + g == О, где "\1 в: - оператор поверх­ ностной дивергенции, а g - вектор поверхностных сил (сил на единицу площади поверхности), действующих на поверхность из объема кристалла. По третьему закону Ньютона из поверхностного слоя на внутреннюю об­ ласть кристалла действуют поверхностные силы f == -у. Силы f имеют

41

h

z

Рис. 3.2. Равновесие прямолинейной ступеньки на поверхности кристалла. Пунк­ тиром обведен элемент поверхности, охватывающий верхний край ступеньки. ±Рх и ±F z - проекции сил поверхностного натяжения F и -Р, действующих на краях

ступеньки, на координатные оси х и Z.

смысл сил поверхностного натяжения и выражаются через поверхностные

напряжения Т с помощью соотношения f == '\1 s . т.

Найдем теперь силы поверхностного натяжения, создаваемые на пер­ воначально плоской поверхности кристалла z == О малой прямолинейной одиночной ступенькой (рис. 3.1). Пусть ступенька расположена вдоль оси у системы координат (х, у, z) и имеет координату х == о. Будем считать, что ступенька направлена вверх (соответственно вниз), если при движении вдоль оси х ступенька уменьшает (соответственно увеличивает) координа­ ту z свободной поверхности кристалла. На рис. 3.1 изображена ступенька, направленная вверх. Удельная поверхностная энергия ~ кристалла с такой ступенькой представима в виде

(3.4)

где ~1 - удельная поверхностная энергия плоской поверхности, ~s - по­ верхностная энергия ступеньки (на единицу ее длины), а 8(х) - дельта­

где Qx == 8~s/8Exx.

Для расчета силы fz рассмотрим малый элемент поверхности, охва­ тывающий верхний край ступеньки (рис. 3.2). Условия равновесия этого элемента имеют вид: Тхх == -Тх == рх, T z z == -Л'; == Fz , где Тх и Т; - проек­ ции силы Т (на единицу длины ступеньки), действующей на верхний край

42

ступеньки из объема кристалла, а РХ и Е, - проекции противоположной ей силы поверхностного натяжения Р, с которой верхний край ступеньки действует на внутреннюю область кристалла. Из условия равновесия мало­ го элемента поверхности, охватывающего нижний край ступеньки, следует, что на нижнем краю ступеньки действует сила поверхностного натяжения -F. ДЛЯ удобства дальнейших расчетов будем считать, что верхний край ступеньки имеет координатух == +Е', а нижний край ступеньки - координа­ ту Х == -Е', где Е' -7 О. Заметим, что величина Е' (без индексов) обозначает малый параметр, в то время как величины Е'а{3 (с индексами) обознача­ ют компоненты тензора деформации. Распределениеповерхностныхсил fz,

Удельная поверхностная энергия на поверхности ступеньки Х == О рассчи­

где Qz = д(д:'7дuх)'

Полная энергия "Ув, связанная с образованием одиночной ступеньки (на единицу ее длины), складывается из собственной энергии ступень­ ки "Уво и энергии д1в взаимодействия создаваемых ей сил поверхност­

ного натяжения с полем внешних упругих напряжений. Из соотношений

Qx = a"Ys/aExx, Qz = a(a:'jSaux) и линейности "Ys относительно деформаций

следует, что

(3.8)

где Е'о == 8их/8х - деформация на поверхности.

Рассчитав поверхностные силы, создаваемые одиночной прямолинейной ступенькой, найдем создаваемое ей полей перемещений, а также энергию взаимодействия ступенек. Перемещения щ, создаваемые ступенькой, рас­ считываются по формуле

+00

где, как и ранее, r и т' - трехмерные векторы, а Gi j (т, т') - тензор Гри­ на для полубесконечной изотропной среды. Энергия взаимодействия двух

4З

произвольных полей упругих напряжений рассчитывается по общей форму­

напряжений. С помощью формулы (3.10) рассчитаем энергию взаимодей­ ствия двух параллельных ступенек. Подставляя в (3.10) формулы (3.5), (3.7), (3.9) и (2.5), получаем следующее выражение для энергии взаимо­ действия ступенек одинаковой высоты (на единицу их длины) [250]:

(3.11)

где Е - модуль Юнга материала, 1/ - коэффициент Пуассона, а Х - рас­ стояние между ступеньками. Знак "плюс" соответствует двум ступенькам

одного знака, то есть ступенькам, одинаково направленным вверх или вниз,

а знак "минус" - двум ступенькам противоположного знака, то есть ступенькам, одна из которых направлена вверх, а другая вниз. Атоми­ стические расчеты энергий ступенек на недеформированной поверхности Si(OOI) [251] показывают, что энергии взаимодействия пар ступенек одного знака и противоположных знаков отличаются не более, чем на 12%. По­ этому, следуя [238], в дальнейшем для простоты будем полагать Qx » Qz и пренебрегать слагаемыми, содержащими Qz. Для удобства также обо­ значим Qx == Q. Значения Q могут быть оценены на основе результатов атомистических расчетов энергий ступенек высотой в 1-2 атомных моно­ слоя [251] и для таких ступенек на поверхности Si(OOI) не превышают

15-25 эВ/нм [238].

Рассмотрим теперь случай, когда в кристалле с плоской поверхностью действует поле упругих напряжений (J"ij. В этом случае образование сту­ пеньки на поверхности кристалла вызывает появление действующей на нее силы изображения Р == ±h(J"xxex (на единицу длины ступеньки), обеспе­ чивающей удовлетворение граничных условий на поверхности ступеньки. Знак "плюс" соответствует здесь ступеньке, направленной вверх, а знак "минус" - ступеньке, направленной вниз. Сила Р эквивалентна распределе­ нию поверхностных сил f~(x) == Р8(х), возникающих в дополнение к силам Q8д(х)/8х, связанным с поверхностным натяжением кристалла. Суммар­

лубесконечной среды, получаем следующее выражение для единственной ненулевой компоненты поля перемещений, создаваемых поверхностной сту-

44

пенькой на поверхности z == О [238]:

рассчитывается с помощью подстановки выражения для fx(X) и формулы

(3.12) в формулу (3.10) [238]:

Vnm = 2(11-ГЕLJ2) [РтРn + (Рn - Pm)QB/Bx - Q2 д2 [д»2] ln Ixl· (3.13)

В формуле (3.13) Рn == snh(J"xx, Вn == +1 для ступеньки, направленной вверх, и Вn == -1 для ступеньки, направленной вниз.

Первое слагаемое в (3.13) описывает энергию взаимодействия сил изоб­ ражения Рn И Рт. Второе слагаемое характеризует энергию взаимодействия сил изображения, создаваемых первой ступенькой, с силами поверхностно­ го натяжения, создаваемыми второй ступенькой, и сил изображения, созда­ ваемых второй ступенькой, с силами поверхностного натяжения, создавае­ мыми первой ступенькой. Это слагаемое присутствует только при Рт i=- Рn. Наконец, третье слагаемое обозначает энергию взаимодействия сил поверх­ ностного натяжения. Это слагаемое описывает отталкивание ступенек на недеформированной поверхности и при условии Qx == Q » Qz совпадает с правой части формулы (3.11). Заметим, что упругое взаимодействие сил изображения Рт и Рn, описываемое первым слагаемым формулы (3.13), является дальнодействующим, так как его энергия пропорциональна ln Ixl. Второе слагаемое в формуле (3.13) характеризует энергию упругого взаи­ модействия сил изображения с диполями сил поверхностного натяжения и убывает с расстоянием Ixl между ступеньками как l/lxl. Третье слагаемое, описывающее энергию диполь-дипольного взаимодействия сил поверхност­

ного натяжения, убывает с ростом х как 1/х2 , то есть упругое взаимодей­

ствие сил поверхностного натяжения является короткодействующим. Сле­ довательно, при больших расстояниях между ступеньками основной вклад в энергию их взаимодействия вносит первое слагаемое в формуле (3.13).

Рассмотрим теперь поверхность деформированного кристалла, содержа­ щую ансамбль из N ступенек. Полная энергия кристалла И, содержащего ансамбль из N ступенек (на единицу длины ступенек), представима в виде

энергию внешнего поля напряжений (J"ij. Второе слагаемое соответству­ ет суммарной собственной поверхностной энергии ступенек в отсутствие

45

внешнего поля напряжений. Третье слагаемое представляет собой суммар­ ную энергию взаимодействия ступенек с внешним полем напряжений aij. Четвертое слагаемое определяет суммарную энергию взаимодействия сту­ пенек между собой. Энергия, связанная с образованиемансамбля ступенек, равна разности И - Uа энергий кристалла с ансамблем ступенек и кри­ сталла того же объема, не содержащего ступенек. Выражение (3.14) будет использована в следующих параграфах для расчета энергий поверхностных

нанопроволок и островков.

Заметим, что для симметричного ансамбля поверхностных ступенек, со­ стоящего из N /2 одинаковых ступенек, направленных вверх, и N/2 таких же ступенек, направленных вниз, суммарная энергия взаимодействия сту­ пенек включает только энергию взаимодействия сил изображения и энер­

гию взаимодействиясил поверхностногонатяжения, в то время как суммар­

ная энергия uP-Q взаимодействия между силами изображения и силами

поверхностногонатяжения равна нулю. Действительно,суммарная энергия

uP - Q получается суммированием второго слагаемого в формуле (3.13) по

Отметим также, что при расчете упругих полей, создаваемых ансамблем ступенек, мы пренебрегаем влиянием упругих полей одних ступенек на по­ верхностные силы f, создаваемые другими ступеньками, и, как следствие, на упругие поля этих ступенек. Кроме того, при рассмотрении ансамбля ступенек мы не учитываем изменения формы поверхности, связанного с образованием ступенек. Это возможно, если высота h ступенек мала по сравнению с расстоянием d между соседними ступеньками, то есть если выполняется условие tan () == h/d « 1, где () - угол наклона поверхности, образованной ансамблем ступенек, к исходной плоской поверхности.

Таким образом, в настоящем параграфе мы привели метод расчета полей перемещений и энергий одиночных прямолинейных ступенек и их ансам­ блей. Такой же подход был использован для расчета энергий периодически фасетированных поверхностей, состоящих из чередующихся граней с двумя различными ориентациями поверхности [252]. В рамках этого подхода бы­ ли рассчитаны энергии периодически фасетированных поверхностей [252], в том числе поверхностей, содержащих периодические ансамбли поверх­ ностных ступенек [17]. Расчет энергии таких структур основан на учете сил поверхностного натяжения. Проведенные расчеты показали стабиль­ ность периодически фасетированных поверхностей и позволили рассчитать равновесный период фасетирования. Для поверхностей, содержащих пери­ одические ансамбли поверхностных ступенек, проведенные расчеты так­ же позволили объяснить явление коагуляции монослойных ступенек, при­ водящее к образованию периодических ансамблей ступенек высотой 7-15 атомных монослоев (см. [17] и ссылки в этой работе). Выражения для

46

полей персмещений и энергий поверхностных ступенек, приведенные в на­ стоящем параграфе, могут также быть использованы для расчетов полей перемещений и энергий поверхностных нанопроволок. Эти расчеты будут произведены в следующем параграфе.

3.2.ПОЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙИ ЭНЕРГИИ

ПОВЕРХНОСТНЫХНАНОПРОВОЛОК

Полученные в параграфе 3.1 выражения для полей перемещений и энер­ гий взаимодействия ступенек позволяют рассчитать упругую энергию, свя­ занную с образованием поверхностных нанопроволок, а также энергию их взаимодействия между собой или с нанопроволоками в матрице. Расче­ ты энергий взаимодействия поверхностных нанопроволок с нанопроволока­ ми в матрице для случая кубических кристаллов были проведены в рабо­ те [220], где поверхностные нанопроволоки моделировались одинаковыми ступеньками малой высоты в 1-2 атомных монослоя. Результаты этих расче­ тов использовались в [220] для анализа пространственного упорядочивания

нанопроволок.

Выражения для энергий взаимодействия ступенек могут также исполь­ зоваться для расчета энергий нанопроволок различной формы (располо­ женных на подложке или смачивающем слое) в приближении малых углов наклона. Использование этого приближения требует выполнения условия () « 1, где () - наибольшее значение угла наклона боковой поверхности нанопроволоки к ее основанию. Подобно дискретному ансамблю поверх­ ностных ступенек, в этом приближении нанопроволока моделируется рас­ пределением поверхностных сил fi, приложенных к плоской поверхности. Как и для ступеньки, поверхностные силы fi, создаваемые нанопроволо­ кой, складываются из сил поверхностного натяжения и сил изображения, необходимых для удовлетворения граничных условий на свободной поверх­ ности нанопроволоки. Если боковая поверхность нанопроволоки состоит из плоских граней, силы поверхностного натяжения, действующие на стыках граней нанопроволоки,требуют отдельного расчета. В общем случае расчет этих сил осуществляется таким же образом, как и расчет сил поверхност­ ного натяжения, создаваемых поверхностными ступеньками. Однако для симметричных нанопроволок, как и для симметричных ансамблей поверх­ ностных ступенек, взаимодействиесил поверхностногонатяжения с силами изображения отсутствует ввиду зеркальной симметрии нанопроволок. Од­ новременно ввиду малости углов наклона боковой поверхности нанопрово­ лок короткодействующим взаимодействием между силами поверхностного натяжения можно пренебречь. В этом случае поверхностныесилы, создава­ емые нанопроволокой, сводятся только к силам изображения. Для расчета сил изображения, создаваемых нанопроволокой, ее можно представить в виде непрерывного распределения поверхностных ступенек бесконечно ма-

47

лой высоты. Поверхностные силы изображения f-;W, создаваемые нанопро­ волокой, будут равны сумме сил изображения fx(X, х') == s(x')(J"xxh8(x-х'), создаваемых отдельными ступеньками, расположенными в точках х == х':

в(х) == -1), если при движении вдоль оси х высота нанопроволокиувели­ чивается (соответственноуменьшается). Величина ахх, входящая в (3.15), представляет собой компоненту тензора напряжений несоответствия. Если несоответствие Е'о параметров as и аf кристаллической решетки подложки и нанопроволоки определяется выражением f == (as - af)/af, то ахх == ао, где аО == ЕЕ'О/ (1 - v). Поскольку силы изображения f!:W, создаваемые нано­ проволокой, равны сумме сил изображения, создаваемых отдельными сту­ пеньками, поле перемещений uiW нанопроволоки также представимо в ви­ де суммы полей перемещений отдельных ступенек. Используя (3.12), пре­ небрегая в этой формуле вторым слагаемым, связанным с действием сил поверхностного натяжения и учитывая равенство ахх == ЕЕ'о/(l - v), полу­ чаем следующее выражение для единственной ненулевой компоненты поля перемещений u~W, создаваемых нанопроволокой на поверхности:

длиной основания 2а и углом наклона () боковых граней, из (3.16) получаем:

Легко убедиться, что правая часть формулы (3.17) имеет конечные пре­

с образованием ансамбля поверхностных ступенек, складывается из соб­ ственной поверхностной энергии ступенек I:m f!so(m) (представляющей со­

упругого взаимодействия ступенек. В рассматриваемом случае, когда'сила­

ми поверхностного натяжения можно пренебречь, ~f!s(m) О, и полная энергия, связанная с образованием ансамбля ступенек, складывается из

48

их собственной поверхностной энергии Lm "Yso(m) и энергии их упруго­

го взаимодействия (1/2) Lm n Vnm. Как следствие, энергия, связанная с

образованием нанопроволоки (на единицу ее длины), складывается из ее

собственной поверхностной энергии U~~! и упругой энергии U~l упруго­ го взаимодействия составляющих ее бесконечно малых ступенек. Энергия U~l равна разности упругой энергий нанопроволоки и упругой энергии фрагмента смачивающего слоя с объемом, равным объему нанопроволоки.

ние (3.13) для Vnm и пренебрегая в этом выражении вторым и третьем

слагаемыми, учитывающими силы поверхностного натяжения, получаем:

ветствия. В частном случае нанопроволоки в виде треугольной призмы с длиной основания 2а и углом наклона () боковых граней, из (3.18) получа­

ем [241]:

ния для энергии взаимодействия нанопроволок. Энергия взаимодействия параллельных нанопроволок представима в виде суммарной энергии взаи­ модействия бесконечно малых ступенек, составляющих различные нанопро­ волоки. Энергия взаимодействия нанопроволок, имеющих форму треуголь­ ных призм, была рассчитана в работе [241]. Здесь для краткости выражения для этой энергии мы не приводим.

В заключение настоящего параграфа персчислим некоторые приложения расчетов энергий поверхностных нанопроволок. Выражения для энергии ан­ самблей нанопроволок применялись для объяснения возможности образо­ вания нанопроволок на периодически фасетированных поверхностях [253],

теоретического анализа влияния нанопроволок в матрице на упорядочи­

вание поверхностных нанопроволок [220], а также исследования влияния

дислокаций в подложке на формирование нанопроволок [241].

3.3. УПРУГИЕ ПОЛЯ И ЭНЕРГИИ АКСИАЛЬНО СИММЕТРИЧНЫХПОВЕРХНОСТНЫХОСТРОВКОВ

Прежде чем приступить к расчету упругих полей и энергий аксиально сим­ метричных островков, следуя [238], рассчитаем поле перемещений, созда­ ваемое одиночной круговой ступенькой радиуса То на деформированной по­ верхности. Упругие поля такой ступеньки создаются аксиально симметрич­ ным распределением сил изображения f:(r) == Р б(r - то) и сил поверхност­ ного натяжения f:t(r) == Qa8(r - то)/дт. Здесь r - радиальная координата

49