Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / Наномеханика квантовых точек и проволок (Овидько), 2004, c.167

Рис. 2.1. Двухфазная нанопроволока снесоответствием.

Рассмотрим двухфазную нанопроволоку радиуса R, состоящую из ци­ линдрической подложки (включения) радиуса Ro и пленки толщины Н (Н == R - Ro) (рис. 2.1). Пленка и подложка предполагаются упругоизо­ тропными твердыми телами с равными модулями сдвига f.L и коэффициен­ тами Пуассона и, но различными параметрами кристаллической решетки. Дилатационное несоответствие параметров as и а! кристаллической решет­ ки подложки и пленки характеризуется параметром f == 2(af-as)/(af+as ) и создает в цилиндре упругие поля деформаций и напряжений.

Пусть Eij (k) - тензор собственных деформаций в k-ой области, где k == 1

для подложки и k == 2 для пленки (рис. 2.1). Предположим, что Eij(2) == О. Тогда Е:/1) = fбijо Суммарная деформация E~:) в цилиндре состоит из

собственной деформации E:/k ) и упругой деформации E~:):

(2.17)

В цилиндрической системе координат (Т, (), z), ось z которой совпадает с осью цилиндра, компоненты тензора полной деформации выражаются через перемещения следующим образом [221]:

Выражение для тензора напряжений получается теперь из закона Гука [221]:

(2.19)

где E(k) == E~;). В цилиндрической системе координат компоненты тензора

30

напряжений имеют следующий вид:

и формул (2.18) и (2.20) мы получаем следующее дифференциальное урав­ нение для перемещений:

Решение этого уравнения имеет вид

Напряжения (J& в двухфазной нанопроволоке, называемые далее напряже­

31

где а" == JLf(l + v)j(l - v), а 8(х) - функция Хэвисайда (8(х) == 1 при х > О и 8(х) == О при х < О).

Полученные выражения для напряжений несоответствия в двухфаз­ ной цилиндрической нанопроволоке будут использованы в дальнейшем для определения условий зарождения в такой нанопроволоке дефектов несоот­

ветствия.

2.4. МЕТОД ПОВЕРХНОСТНЫХПЕТЕЛЬ

в предыдущих параграфах мы рассмотрели методы, основанные на исполь­ зовании тензорной функции Грина или прямом интегрированииуравнений равновесия. Альтернативой этим методам служит подход, основанный на концепции виртуальных поверхностных дислокаций. В общем виде этот метод был впервые сформулирован Ф. Кроупой и Л. Лейчеком [194]. в

основе этого метода лежит размещение на границе включения непрерывно

распределенных виртуальных дислокаций и/или дислокационных петель.

Если суммарный тензор собственных деформаций, создаваемых такими де­ фектами, равен тензору собственных деформаций, создаваемых включени­ ем, то перемещения, деформации и напряжения, создаваемые включением, равны суммам соответственно перемещений, деформаций и напряжений, создаваемых виртуальными поверхностными дислокациями и/или дислока­

ционными петлями.

При меры распределений поверхностных дислокаций и дислокационных петель, моделирующих включения с дилатационной собственной деформа­ цией, приведены на рис. 2.2. Рис. 2.2а иллюстрирует включение в виде пленки на подложке, характеризуемой единственной неиулевой компонен­ той собственной деформации E~x == Е*. Собственная деформация такого включения моделируется ансамблем краевых дислокаций, непрерывно рас­ пределенных по границе пленки и подложки с линейной плотностью Е* jb, где Ь - величина их векторов Бюргерса. На рис. 2.2Ь сферическое вклю­ чение с одноосной собственной деформацией E:z моделируется непрерыв­

ным распределением круговых призматических дислокационных петель по

поверхности сферы [150]. Наконец, на рис. 2.2с включение в форме пря­ моугольного параллелепипеда с трехосной дилатационной собственной де­ формацией Eij == Е* дij моделируется тремя ортогональными ансамблями

призматических прямоугольных дислокационных петель, распределенных с

линейной плотностью Е*[Ь [222]. Для случая, когда такое включение рас­ положено в изотропной бесконечной среде, поле его напряжений (равное суммарному полю напряжений распределенных по его поверхности дисло­ кационных петель) имеет вид [222]:

32

z

substrate

z у

~x

-8

(с)

Рис. 2.2. Распределения дислокаций (а) и дислокационных петель (Ь,с), моделиру­ ющих собственные деформации включений в виде пленки на подложке (а), шара (Ь) и параллелепипеда (с)

где

2.5.МЕТОД БЕСКОНЕЧНОМАЛЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

Рассмотренные в предыдущих параграфах метод функций Грина и метод

поверхностных дислокационных петель основаны на построении решения

для упругих полей включениязаданной формы в виде суперпозицииизвест­ ных базовых решений. Подобный подход используетсяи в методе бесконеч­ но малых включений. В отличие от метода функций Грина и метода поверх­ ностных дислокационных петель, в которых базовыми являются решения

33

Z

dXrr~:(х',у',z')

dz ,). •••

:...-.: dy

Рис. 2.3. Центр дилатации в изотропном полупространстве.

для упругих полей, создаваемых сосредоточенными силами, дислокация­ ми или дислокационными петлями, в методе бесконечно малых включений базовыми являются решения для бесконечно малых включений. В рамках этого метода поля перемещений, деформаций и напряжений, создаваемых включением, представляются в виде суммы соответствующих полей, созда­ ваемых бесконечно малыми включениями с тем же суммарным тензором собственной деформации. В случае, если включение характеризуется чисто дилатационной собственной деформацией Eij == Е* дij, упругие поля включе­ ния можно представить в виде суммы соответствующих полей, создаваемых центрами дилатации. Таким образом, существующие решения для центров дилагации в изотропной бесконечной среде, полупространстве [167], двух­ фазных средах [183,184] и пластине конечной толщины [195] позволяют получать решения для упругих полей однородных включений с дилатацион­ ной собственной деформацией, расположенных в таких средах. В качестве при мера приведем решения для перемещений, создаваемых центром дила­ тации в изотропной полубесконечной среде. Пусть центр дилатации рас­

Rr,2 == х2 +у2 + (Z4=z')2, А == (1 +v) Е*j[4Jr(1-v)], Р == А dx dy dz, dx dy dz -

объем центра дилатации.

Формула (2.30) для перемещений, создаваемых в полубесконечной изо­ тропной среде центром дилатации, была использована в работе [175] для расчета напряжений, создаваемых включением в виде параллелепипеда вне

34

Рис. 2.4. Усеченная пирамида в полупространстве (а) и ее разложение на прямо­ угольные параллелепипеды бесконечно малой высоты (Ь).

z=~ .....~ ..

(а) (Ь)

Рис. 2.5. Усеченный цилиндр в полупространстве (а) и его разложение на прямо­ угольные параллелепипеды бесконечно малой высоты (Ь).

этого включения. Эти напряжения расечитывались в [175] посредством ин­ тегрирования поля напряжений, создаваемых центром дилатации, по объ­ ему параллелепипеда. Позднее выражения для персмещений и деформа­ ций, создаваемые таким параллелепипедом, верные как вне включения, так и внутри него, были получены Гласом [176]. Полученное решение он также применил для расчета перемещений и деформаций, создаваемых в изотропном полубесконечном кристалле усеченной пирамидой [118] и ци­ линдром конечной длины [124] с дилатационной собственной деформацией E:j == Е* дij (рис. 2.4а и 2.5а). Для этого усеченная пирамида и цилиндр мо­ делировались непрерывным распределением параллелепипедов бесконечно малой толщины и переменного сечения (рис. 2.4Ь и 2.5Ь), а перемещения и деформации, создаваемые пирамидой и цилиндром, расечитывались одно­ кратным интегрированием персмещений и деформаций, создаваемых беско­ нечно тонкими параллелепипедами. В общем случае полученные выраже­ ния для перемещений ис;, и полных деформаций Eij , создаваемые усеченной

35

пирамидой и цилиндром конечной длины, весьма громоздки. Однако реше­

ние для цилиндра существенно упрощается в случае, когда длина цилиндра

(2.32а)

(2.32Ь)

Подводя итоги второй главы, можно сделать следующиевыводы. Несмот­ ря на малый размер квантовых точек и нанопроволок, их упругие поля и энергии можно эффективнорассчитыватьс помощью методов классической теории упругости. При этом квантовые точки и нанопроволоки, располо­

женные в матрице, моделируются упругими включениями или неоднород­

ностями. Наличие большого числа решений для задач об упругих полях включений в различных средах позволяет исследовать упругое поведения таких квантовых точек и нанопроволокна основе уже имеющихся решений для включений. Вместе с тем существуютразличные методы, позволяющие при необходимости получать новые решения для упругих полей и энергий квантовых точек и нанопроволок. К таким методам, в частности, относят­ ся, метод функций Грина, метод поверхностныхпетель и метод бесконечно малых включений. Упругие поля квантовых точек и нанопроволок можно

также рассчитывать путем непосредственного решения граничных задач

теории упругости.

36

ГЛАВА 3. УПРУГИЕПОЛЯ И ЭНЕРГИИповкгхностных KBAHTOBbIX ТОЧЕК И НАНОПРОВОЛОК

в предыдущей главе мы рассмотрели методы расчета упругих полей кван­ товых точек и нанопроволок в матрице. В настоящей главе мы рассмот­ рим аналитическиеметоды расчета упругих полей и энергий ступенек, ост­ ровков и нанопроволок, расположенных на поверхности. Упругие поля и энергии поверхностных островков и нанопроволок необходимы для теоре­ тического анализа условий их формированияи пространственногоупорядо­ чивания, расчета их равновесных размеров и формы, оценки условий, при которых возможна их коагуляция, а также расчета их электроннойструкту­ ры. Энергия поверхностных островков также является одним из основных параметров, используемых в кинетических моделях роста ансамблей ост­

ровков.

Как и упругие поля и энергии квантовых точек в матрице, упругие по­

ля и энергии поверхностныхостровков и нанопроволокрассчитывалисьраз­

личными способами, включающимиатомистическиерасчеты [223-225], ме­ тод конечных элементов [21,33,226-233], метод граничных элементов [234]

ианалитические методы теории упругости, используемые для островков и

нанопроволок с малыми углами наклона боковой поверхности [28,235-241]. В ряде работ расчет упругой энергии поверхностных островков методом ко­ нечных элементов был совмещен с атомистическими расчетами их поверх­ ностных энергий [21,229-231] и поверхностных напряжений [229,231].

В общем случае энергия Е, связанная с образованием поверхностного

островка или нанопроволоки, представима в виде суммы трех слагаемых:

энергия, а Est - энергия, связанная со наличием сил поверхностного натя­ жения. В фасетированных нанопроволоках или островках силы поверхност­ ного натяжения действуют на ребрах этих нанопроволоках или островков, а связанная с ними энергия Est обычно называется энергией краев остров­ ка. Как будет показано ниже, силы поверхностного натяжения являются короткодействующими, и поэтому при расчете энергетики поверхностных островков и нанопроволок с малыми углами наклона боковой поверхности энергией Est в первом приближении можно пренебречь. Заметим также,

что упругая энергия поверхностных нанопроволок и островков пропорци­

ональна их объему и зависит от их формы. Для грубой оценки энергий

одиночных островков энергию Eel представляют в виде Eel == О'.оЕо, где

Ео - энергия фрагмента напряженной пленки с объемом, равным объему островка, а 0'.0 - геометрический фактор, приближенные значения которого

37

для различных форм островков можно получить из результатов конечно­ элементных или атомистических расчетов. Подобный метод, однако, не срабатывает в тех случаях, когда необходимо рассчитать упругие поля по­ верхностных островков или вычислить энергии их взаимодействия между собой [239], с дислокациями [241] или островками в матрице [220]. В этом

случае упругие поля и энергии островков и нанопроволок с малыми углами

налона боковых граней наиболее удобно рассчитать аналитически. Поверхность кристалла, содержащая островок или ансамбль островков

с малыми углами наклона боковых граней, можно представить как некото­ рую шероховатую поверхность, близкую к плоскости. Общий метод расчета поля напряжений в теле с некоторой шероховатой поверхностью, близкой к некогорой идеальной (гладкой) поверхностью, был предложен В.А. Паль­ мовым в работе [242], содержание которой также изложено в книге [243]. Этот метод был, в частности, использован для расчета концентрации напря­ жений в полуплоскости с шероховатой поверхностью, подвергнутой одноос­ ному растяжению на бесконечности [243], а также расчета полей напряже­ ний и упругого взаимодействия ступенек на поверхности цилиндрических пор, содержащих винтовые дислокации [244]. Суть метода заключается в сведении уравнений равновесия и граничных условий для тела с шерохо­ ватой поверхностью к уравнениям равновесия и граничным условиям для тела с некоторой идеальной гладкой поверхностью, примерами которой мо­ гут, в частности, служить плоскость, поверхность цилиндра или сфера. В рамках этого метода шероховатость поверхности сводилась к действию в теле с гладкой поверхностью некоторого дополнительного поля напря-

женииu (J"ij(1) , удовлетворяющего на этоиu поверхности заданным граничным

условиям. Соотношения cтg)njls = fi (где s - рассматриваемая гладкая

поверхность, а n - внешняя нормаль к ней) определяли распределение

виртуальных поверхностных сил f, создающихполе напряженийСТЫ). ДЛЯ

расчета поля напряжений, действующего в полуплоскости с шероховатой поверхностью, упругое поле перемещений, создаваемых виртуальными по­ верхностными силами f, рассчитывалось с помощью функций Грина для

полуплоскости.

Такой же метод был использован в работе [235] для расчета энергии островка (с малыми углами наклона боковых граней) на плоской поверх­ ности кристалла. Наличие боковой поверхности островка здесь моделиро­ валось распределением поверхностных сил, приложенных к плоской по­ верхности, а создаваемое ими поле перемещений рассчитывалось с помо­ щью функции Грина для полубесконечной изотропной среды. В итоге ав­

торы [235] получили следующее выражение для энергии W:~l упругой ре­

лаксации островка, равной разности между упругой энергией островка и энергией фрагмента напряженной пленки такого же объема:

38

в формуле (3.2) а, (3 == 1,2, 5 - бесконечная плоскость, х и х' - двумер­ ные вектора на этой плоскости, dx == dXl dX2, dx' == dx~ dx;, z - коор­ динатная ось, направленная перпендикулярно плоскости 5, C~{3(x - х') - компоненты поверхностного тензора Грина для изотропной полубесконеч­ ной среды [245], а 0'0 - величина напряжений несоответствия О'а{3 == О'ода{3, которые бы действовали в нанопроволоке бесконечной длины и ширины. Поверхностные функции Грина C~{3' входящие в (3.2), связаны с объем­ ными функциями Грина Са{3(х, х') для полубесконечной среды (определя­ емыми формулами (2.5)) соотношениями C~{3(x - х') == Са{3(т, r')lхз=х~=0' где r == (ХI,Х2,ХЗ) и т' == (x~,x;,x~) - трехмерные вектора. Функция z(x), входящая в формулу (3.2), определяет профиль поверхности, содержащей островок. Условие малости углов наклона боковой поверхности островка имеет вид: 8z/8x{3 « 1, где (3 == 1,2. Заметим, что формула (3.2) верна не только для одиночного островка, но также и для ансамбля островков произвольной формы, для которых выполняется условие 8z/8x{3 « 1.

Дальнейшее развитие подход [235,242] получил в работе UЦукина u др. [236], которые наряду с виртуальными поверхностными силами (силами изображения), связанными с действием упругих напряжений, учли влияние

сил поверхностного натяжения, наличие которых в твердом теле связано с

зависимостью его поверхностной энергии от деформации. В результате ав­ торы [236] получили общее выражение для упругой энергии островка или ансамбля островков с малыми углами наклона боковой поверхности, пред­ ставимое в виде суммы энергии напряжений несоответствия, энергии сил поверхностного натяжения и энергии взаимодействия напряжений несоот­

ветствия с силами поверхностного натяжения.

В работах [235,236] упругие энергии островков и нанопроволок на плос­ кой поверхности рассчитывались с помощью функций Грина для полубес­ конечной среды. Другой подход к расчету полей напряжений и энергий нанопроволок был предложен в работах Гао [246,247]. Гао рассмотрел дву­ мерное деформированное тело с поверхностью, близкой к плоской и с по­

мощью метода комплексных потенциалов получил выражения для напря­

жений, действующих в таком теле. Гао также рассчитал упругую энер­ гию, запасаемую этими напряжениями. Предложенный им метод [246,247] применим для расчета напряжений и упругих энергий произвольных на­ нопроволок (с малыми углами наклона боковой поверхности) на плоской

поверхности кристалла.

Еще один подход к расчету упругих полей и энергий нанопроволок и аксиально симметричных островков был реализован в работе [238]. В этой работе рассматривались островки, состоящие их круговых ступенек, а упру­

гие поля представлялись в виде непрерывного распределения соответствую­

щих упругих полей, создаваемых ступеньками бесконечно малой высоты. В случае, когда влиянием поверхностного натяжения можно пренебречь, этот

подход можно распространить и на нанопроволок или островки с плоскими

боковыми гранями. Поскольку большинство реально встречающихся ост-

39