Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / Наномеханика квантовых точек и проволок (Овидько), 2004, c.167

стине показало. что в вершинах прямоугольной границы сдвиговые дефор­ мации и напряжения являются сингулярными. Обобщение решения Гудиера на случай нагретой области в виде параллелепипеда было сделано Я. Игна­ чеком и В. Новацким и 1958 г. и опубликовано в книге [153]. Термические напряжения, создаваемые конечным числом включений, имеющих форму параллелепипеда, исследовались в работе [154], результаты которой опуб­ ликованы также в книге [155]. Упругие поля изотропных включений в виде параллелепипеда, испытывающих произвольную собственную деформацию, рассчитывались в работах [156-159]. В частности, Ж. Фэвр показал, что если собственная деформация включения представляет собой чистую дила­

тацию, то упругая дилатация однородна внутри включения и равна нулю

вне его [157]. Как следствие, упругая энергия такого включения не зависит от его формы.

В последние несколько лет был также решен ряд задач для изотропных включений, имеющих форму многоугольников или многогранников [108, 112,160-166]. В частности, Персон и Фо с помощью функций Грина рас­ считали поле напряжений, создаваемое в бесконечной среде изотропной усеченной пирамидой, моделирующей квантовую точку [112], Фо и др вы­ числили поле деформаций, создаваемые квантовыми проволоками с про­ извольным сечением [108], а Гослинг и Виллис рассчитали упругие поля ряда нанопроволок с трапециидальным поперечным сечением [160]. Хотя в общем случае упругая деформация внутри многоугольников и много­ гранников неоднородна [161,163], Мура показал [164,165], что существуют

включения в виде многоугольников специального вида, создающие внутри

себя однородное поле деформаций. Таким образом, вопреки утверждению Эшелби [145-147] оказалось, что однородность упругих деформаций внутри включений присуща не только эллипсоидальным включениям.

Большинство решений задач об изотропных включениях в бесконечной среде были также распространены на случай включений в полупростран­ стве. По-видимому, первой задачей о включении в полубесконечной среде была задача [167] о сферическом включении с однородной дилагационной собственной деформацией, вызываемой различием коэффициентов термиче­ ского расширения включения и матрицы. Позднее это решение было обоб­ щено на случай произвольной однородной собственной деформации [168]. Сео и Мура получили решения для эллипсоидального включения с дилата­

ционной собственной деформацией [169], а Х.Й. Ю и С.К. Санлей решили

задачу об осесимметричном включении с дилатацией и однородной дефор­ мацией растяжения [170]. Взаимодействие сфероидального включения со свободной поверхностью рассматривалось в работах [171,172]. В [171] также было проанализировано взаимодействие между центрами дилатации, рас­ положенными вблизи плоской свободной поверхности. Наконец, решение задачи о полусферическом включении в полупространстве было получено в недавней работе [173].

По-видимому, первая работа, посвященная расчету упругих полей фасе-

20

тированного включения в полупространстве, принадлежит Чиу [174]. Чиу рассмотрел включение в виде параллелепипеда с произвольной дилатаци­ ей, одна из граней которого параллельна свободной поверхности, и полу­ чил решение в виде полиномов Лежандра. Позднее в работе [175] было получено альтернативное решение для поля напряжений, создаваемых ди­

латационным включением в виде параллелспипеда вне этого включения.

В [175] предполагалось. что собственная деформация включения является

чисто дилатационной и возникает в результате различия коэффициентов термического расширения включения и матрицы. Решения [174,175] бы­ ли дополнены Гласом [176], который рассчитал не только напряжения и деформации, но также и перемещения, создаваемые включением с дилата­ ционной собственной деформацией, а также его упругую энергию. В от­ личие от решения С.М. Ху [175] решение Гласа [176] описывает упругие поля как вне включения, так и внутри него. В работах [174,175] реше­ ния были получены с помощью метода функций Грина или родственного ему метода, основанного на интегрировании упругих полей, создаваемых точечными источниками расширения, по объему включения. Решение [176] для параллелепипеда было получено с помощью рассчитанных в этой же работе упругих полей пластинчатого включения, собственная деформация которого меняется по синусоидальному закону. Такая пластина моделирует, в частности, пленку с переменным химическим составом. Как предельный случай параллелепипсда, в [175,176] получены также выражения упругих полей, создаваемых включением в виде проволоки прямоугольного сечения, параллельной свободной поверхности. Выражения для поля напряжений, создаваемых бесконечной прямоугольной проволокой в полупространстве, были также получены М.Ю. Гуткиным с помощью решения для такой про­ волоки в пластине [177]. Эти выражения приведены в работе [178]. На­ конец, перемещения, создаваемые в полупространстве рядом бесконечных прямоугольных проволок. были рассчитаны Каганером и др. [179].

Используя выражения [176] для перемещений, создаваемым в полупро­ странстве включением в виде параллелепипеда, Глас [118,119] рассчитал упругие поля, создаваемые включениями, имеющими форму усеченной пи­ рамиды и трапециидальной проволоки и расположенными вблизи свобод­ ной поверхности кристалла. Такие включения моделировали соответствен­ но квантовые точки и нанопроволоки. (Похожая задача, но в более простой постановке, рассмотрена также в работе [126]. В этой работе рассчитыва­ лось среднее нормальной напряжение и дилатация, создаваемые приповерх­ ностным пирамидальным включением на плоской свободной поверхности). Позднее Глас использовал решение для одиночной трапециидальной нано­ проволоки для расчета упругих полей, создаваемых рядом таких нанопро­ волок [120], Глас также обобщил решение для трапециидальной нанопро­ волоки на случай произвольных фасетированных нанопроволок. Отдельно в [120] был предельный рассмотрен случай, в котором расстояние от на­ нопроволок до свободной поверхности стремится к бесконечности. В этом

21

случае напряжения, создаваемые рядом трапециидальных или треугольных

нанопроволок в полупространстве, сводились к напряжениям, создаваемым

такими нанопроволоками в бесконечной среде. Для расчета упругих полей пирамидальных и призматических включений в полупространстве Глас мо­ делировал их непрерывными распределениями включений бесконечно ма­ лой толщины, имеющих форму параллелепипедов [118,119]. Этот же ме­ тод был использован им для расчета полей перемещений и деформаций, создаваемых включением в виде кругового цилиндра конечной длины, па­ раллельного плоской свободной поверхности [124]. В качестве предельных случаев в [124] были также рассмотрены включения в виде полубеско­ нечного и бесконечного цилиндра в полупространстве, а также цилиндр конечной длины в бесконечной среде. Решение [124] для цилиндра конеч­ ной длины, параллельного свободной поверхности кристалла, дополнили предыдущие решения для цилиндра конечной длины, перпендикулярного плоской свободной поверхности [180-182].

Решения многих задач о включениях в изотропной бесконечной или по­ лубесконечной среде также распространены на случай двухфазной беско­ нечной среды с плоской границей раздела фаз. Обе фазы при этом предпо­

лагаются упругоизотропными, но имеют различные значения упругих мо­

дулей. При решении задач о включениях в двухфазной среде различают

два типа границ: когерентные границы и границы с проскальзыванием.

Для обоих типов границ должны выполняться условия непрерывности нор­ мальных к границе напряжений и перемещений. Кроме того, на когерент­ ной границе раздела должны быть непрерывны касательные к ней ком­ поненты напряжений, а на границе с проскальзыванием эти напряжения должны обращаться в нуль. Большинство задач о включениях решено для более распространенных когерентных границ, хотя существуют решения и для границ с проскальзыванием. К наиболее простым задачам о вклю­ чениях в двухфазной среде с когерентной границей относятся задачи о центре дилатации [183, 184], сферическом включении с произвольной од­ нородной деформацией [185], а также центре деформации [186]. Центром деформации авторы [186], следуя Миндлину [187], называют единичную

сосредоточенную силу, пару таких сил или центр дилатации. На основе

решения для центра деформации Х.Й. Ю и С.К. Сандей получили решение

для однородного включения произвольной формы вблизи плоской границы раздела [188]. При этом рассматривалась как когерентная граница, так и граница с проскальзыванием. В предельном случае, когда упругие моду­ ли одной из сред полагались равными нулю, а форма включения полага­ лась эллипсоидальной или осесимметричной, авторы получали известные результаты [170,172] для включений у свободной поверхности.

Общее решение задачи о произвольном включении в двухфазной среде

Х.Й. Ю и С.К. Сандей получили интегрированием упругих полей, создава­

емых в такой среде центром деформации, по объему включения. Незадолго

до Х.Й. Ю и С.К. Сандея подобный метод расчетов применил С.М. Ху

22

для расчета напряжений, создаваемых включением в виде параллелепипе­ да в полупространстве [175]. Заметим, что, как и для случая бесконечной

среды, решение для произвольного включения в полупространстве или в

двухфазной среде может быть получено с помощью метода функций Грина, то есть интегрированием упругих полей, создаваемых единичной сосредо­ точенной силой, по объему включения. В частности, метод функций Грина использовался в работе [189] для расчета упругих полей и энергии ци­ линдрического и сферического включения, а также для решения задачи о произвольном осесимметричном включении у границы раздела фаз [190]. Наряду с задачами о включениях в двухфазной трехмерной среде были получены решения двумернььх задач для произвольных включений в двух­ фазной плоскости [191, 192]. Для решения этих задач использовался метод конформных отображений.

Кроме задач о включениях в однофазной и двухфазной бесконечной сре­

де, а также полупространстве. несколько авторов решали задачи о включе­

ниях в пластине конечной толщины и бесконечном цилиндре. Так, в [177] (см. также [193]) была решена задача о включении в виде бесконечной

проволоки прямоугольного сечения, ось которой параллельна поверхности пластины. Решение этой задачи было получено из выражений для поля напряжений такого включения в бесконечной среде с помощью метода вир­ туальных поверхностных дислокаций [194]. В рамках этого метода поле напряжений включения в пластине искалось в виде суммы поля напряже­ ний такого включения в бесконечной среде и полей напряжений виртуаль­ ных дислокаций, непрерывно распределенных по свободным поверхностям пластины. При этом плотности распределений дислокаций определялись из граничных условий на свободных поверхностях пластины путем решения соответствующих интегральных уравнений.

Другой задачей, решенной для включения в пластине конечной толщи­ ны, является задача о центре дилатации. Решение этой задачи получено

Х.Й. Ю и С.К. Сандеем в работе [195] и дополняет предыдущее решение этих авторов для центра деформации в двухфазной среде [186]. Исполь­ зуя решение для центра дилатации, Х.Й. Ю и С.К. Сандей в [195] по­

лучили общее решение для произвольного включения в пластине с чисто дилатационной собственной деформацией. В качестве иллюстрации полу­ ченного общего решения они также рассмотрели сферическое включение в пластине. Позднее Чанг и др. [196] решили задачу о другом типе вклю­

чения в пластине - цилиндрическом включении, перпендикулярном сво­

бодным поверхностям пластины. Данное решение удачно дополняет суще­ ствующие решения для подобного цилиндрического включения в полупро­ странстве [180-182]. Наряду с решениями задач о включениях в пластине, отметим также решение задачи о бесконечном цилиндрическом включении с однородной дилатационной собственной деформацией, расположенном в цилиндрической матрице и соосным этой матрице [197].

Многие решения, полученные для включений в изотропных средах, бы-

23

ли также обобщены на случай упругой анизотропии. В частности, в рабо­ тах [198,199] с помощью метода комплексных потенциалов были получены

решения двумерных задач о цилиндрических включениях в анизотропных

бесконечных средах. Решение [198] было обобщено Виллисом [200] на слу­

чай кубической симметрии. Последующий анализ был проведен также для эллиптических включений для случая ортотропной среды [201,202] и среды с одной плоскостью симметрии [203]. Задача об эллипсоидальном включе­ нии в анизотропной бесконечной среде рассматривалась Асаро и Барне­ том [204], Мурой [141], а также Куниным и Сосниной [205]. Андреев и др. в интегральном виде получили решение для деформаций, создаваемых в анизотропной бесконечной среде включениями в виде сферы, куба, пира­ миды, полусферы, усеченной пирамиды и плоского цилиндра [110]. Холи и

др. рассмотрели задачу о центре дилатации в анизотропном полупростран­

стве [111] и использовали полученное решение для анализа пространствен­ ного упорядочивания квантовых точек. Янг и Чоу получили общие реше­ ния для обобщенной плоской [206] и антиплоской [207] двумерных задач об эллиптических включениях в бесконечной анизотропной среде. Позднее решение [207] антиплоской задачи для эллиптического включения было обобщено на случай анизотропного полупространства [208] и двухфазной анизотропной среды. [209]. Недавно Ру [210] получил также общее реше­ ние для включения произвольной формы в анизотропной плоскости или

полуплоскости .

Таким образом, в настоящее время существует большое число аналити­ ческих решений для полей напряжений и деформаций включений различ­ ной формы в изотропных и анизотропных бесконечных и полубесконечных средах, а также цилиндрах и пластинах. По-видимому, наиболее общим методом решения таких задач для включений в бесконечной или полу­ бесконечной среде является метод функций Грина. Поскольку этот метод широко применяется при расчете упругих полей, создаваемых квантовыми точками, мы изложим его в следующем параграфе.

2.2.МЕТОД функций ГРИНА

Следуя Кренеру [211], представим полную деформацию tij в материале в виде суммы упругой деформации Eij и собственной (неупругой) деформа­ ции E:j : tij == Eij + E:j . При наличии в материале (матрице) включения, расположенного в некоторой трехмерной области !1, собственную деформа­ цию можно представить в виде E:j == Eijg(x), где х == (Хl,Х2,ХЗ) - точка в пространстве координат, g(x) == 1, если точка х расположена в области !1 и g(х) == о в противном случае. Равенство E:j == E:j g(х) означает, что собственная деформация равна Eij внутри включения и нулю в матрице.

Метод функций Грина позволяет по заданной собственной деформации E:j внутри включения, а также по его форме и размеру (характеризуемыми

24

функцией g(х)) рассчитать создаваемые им упругие поля. Согласно [141], перемещения щ, создаваемые включением, рассчитываются по формуле

V - область, занимаемая материалом (включением и матрицей) в простран­ стве координат (x~,x~,x~), Cjlmn - тензор упругих модулей, а Gij(x,x') - тензор Грина среды. В случае, если собственная деформация включения однородна (то есть Е:пn == const), формулу (2.1) можно представить в виде

ленно равны перемещениям Ui, создаваемым в точке х единичной сосредо­ точенной силой, приложенной в точке х' в направлении оси Xj. В случае бесконечной среды тензор Грина зависит только от разности х - х'. Для изотропной бесконечной среды выражения для функций Грина были впер­ вые получены Кельвином [212] и имеют вид [141]:

Пуассона. Тензор Грина для изотропной полубесконечной среды хз > О был впервые получен Миндлином [187]. Заметим, что в работе Миндлина [187] была допущена ошибка в знаке, исправленная им в 1975 г. в частном со­ общении. В исправленном виде выражения для тензора Грина изотропной полубесконечной среды хз > О приведены в книге Муры [141] и имеют

25

следующий вид (в единицах 1/[16JrJL(1 - v)]) :

Для изотропного случая тензоры Грина получены также для двух- фазной среды с когерентной границей [213] и проскальзывающей грани­ цей [214]. Выражения для тензоров Грина таких сред приведены также в

книге [141].

Рассчитав по формуле (2.1) перемещения щ, создаваемые включением, нетрудно также получить выражения для создаваемых им полных дефор­

в средах, для которых существуют точные аналитические выражения для функций Грина, перемещения, деформации и напряжения, создаваемые

26

включением можно рассчитывать непосредственно по формулам (2.1), (2.6) и (2.7). Однако такие выражения для функций Грина имеются только для изотропных и трансверсально изотропных материалов (см. [141] и ссылке в этой книге). Для бесконечных кубических кристаллов существуют лишь приближенные аналитические выражения для функций Грина [215-218], полученные с помощью представления тензора Грина для произвольной анизотропной бесконечной среды в виде ряда [141]. Поэтому во многих случаях, особенно для анизотропных материалов, более удобным оказыва­ ется использование выражений для Фурье-образов функций Грина.

Для бесконечной среды функции Грина зависят только от разности ко­ ординат х - х', что позволяет применить к правой части формулы (2.1) теорему о свертке функций. С помощью этой теоремы трехмерные Фурье­

образы Ир и Epq перемещений и деформаций, создаваемых включением,

можно выразить через трехмерные Фурье-образы Cpq функций Грина

Gpq(x - х'). (Здесь и далее трехмерные преобразования Фурье произволь-

бой неограниченный трехмерный объем. Применяя к получившемуся урав­ нению теорему о 'свертке функций и учитывая (2.6) и равенство Epq ==

Epq - E;qg(X), получаем:

(2.8а)

(2.8Ь)

Из определения функции g(x) (равной 1 в области !1 и О вне ее) следует, что выражение для Фурье-образа этой функции g(k) имеет вид: g(k) ==

Jn e-ik х dx. Теперь перемещенияИр и упругие деформации Epq находятся

с помощью обратного преобразования Фурье:

Vk

(2.9)

где dV~ - элемент объема Фурье пространства, а интегрирование проводит­ ся по всему бесконечному объему Vk этого пространства.

Для изотропной бесконечной среды имеем [141]:

27

где л == 2vJL/(1 - 2v), а k2 == k· k.

Для бесконечного кристалла с кубической симметрией, характеризуе­ мого тремя упругими модулями си. С12 И С44, тензор упругих модулей и тензор Грина рассчитываются по формулам [110,141]

выражения для перемещений и упругих деформаций, создаваемые включе­ ниями различного размера и формы, рассчитываются единым образом по формулам (2.8) и (2.9). В этих формулах размер и форма включения, зани­ мающего область !l, учитываются только видом выражения для функции

g(k).

Недавно расчеты упругих деформаций, создаваемых ~ключениями раз­ личной формы в бесконечных изотропных и кубических кристаллах с по­ мощью формул (2.8Ь)-(2.13) были проведены Андреевым и др. [110]. Для расчета деформаций они также вычислили функции g(k) для различных форм включений, моделирующих квантовые точки: сферы, куба, пирамиды, усеченной пирамиды, полусферы и цилиндра конечной длины. Для включе­ ний с высокой степенью симметрии эти функции имеют довольно простой вид. Например, для сферы радиуса R, расположенной в начале координат,

Для куба с центром в начале координат и сторонами с длинами аl, а2 и аз

(2.15)

Для цилиндра длины L и диаметра П; с центром в начале системы коор­

динат, ось хз которого совпадает с осью цилиндра,

28

Основное внимание в работе [110] уделялось исследованию влияния формы включения и упругой анизотропии кристалла на поля деформаций, создаваемые включением. Андреев и др., в частности, показали [110], что в случае кристаллов с кубической симметрией для сферического включе­ ния упругая анизотропия существенно влияет на деформации, создаваемые им в матрице, хотя и слабо влияет на деформации внутри включения. В отличие от сферического включения для кубического или пирамидального

включения упругая анизотропия не оказывает столь существенного влия­

ния на деформации, создаваемые им ни внутри себя, ни в матрице. Таким образом, влияние упругой анизотропии существенно только для сфериче­ ских включений или сильно анизотропных кристаллов.

В некоторых случаях использование Фурье-образов функций Грина ока­ зывается удобно для расчета полей перемещений, деформаций и напряже­ ний не только в бесконечных, но и в полубесконечных средах. Для полу­ пространства хз > О функции Грина зависят от координат хз и x~, а также от разностей координат Хl - x~ И Х2 - x~. Иными словами, в рассматри­ ваемом случае функции Грина Gpq(X, х') представимы в виде Gpq(X, х') == Gpq( Xl - X~, Х2 - X~, Хз, X~). Следовательно, вместо трехмерного преобра­ зования Фурье, используемого для расчета упругих полей включений в бесконечной среде, упругие поля включений в полупространстве можно рассчитывать с помощью двухмерного преобразования Фурье в простран­ стве координат (Хl,Х2). Л1етоД расчетов при этом аналогичен расчетной схеме, применяемой для _случая бесконечной среды, но требует знания дву-

мерных Фурье-образов Gpq (k1, k2, Хз, X~) функций Грина Gpq ( Xl ' Х2, Хз, X~).

Точные аналитические выражения для двумерных Фурье-образов функций Грина получены для полубесконечной среды с кубической симметрией [219] и использовались для расчетов упругого взаимодействия квантовых точек

вполубесконечных кубических кристаллах [17,220].

2.3.ИНТЕГРИРОВАНИЕУРАВНЕНИЙРАВНОВЕСИЯ

вряде простых задач о включениях их упругие поля можно получить, непосредственно решая уравнения теории упругости в перемещениях. Та­ кие уравнения получаются подстановкой в уравнения равновесия закона Гука, а также выражений, связывающих деформации и перемещения. По­

добный подход был применен, в частности, для решения задачи о терми­

ческих напряжениях, возникающих при контакте двух тел с различными

коэффициентамитермического расширения [141, 221], а также для расчета

напряжений, создаваемых в бесконечной среде цилиндрическим включени­ ем с дилатационной собственной деформацией [149]. В настоящем пара­ графе мы проиллюстрируем этот метод на примере задачи о напряжени­ ях несоответствия в двухфазной цилиндрической нанопроволоке. Решение этой задачи будет использовано в дальнейшем при анализе условий фор­ мирования дефектов в такой нанопроволоке.

29