Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / Наномеханика квантовых точек и проволок (Овидько), 2004, c.167

ние становится выгодным при определенном критическом объеме остров­ ка [28,31,32]. Превращение островка из пирамиды в купол может спо­ собствовать зарождению в нем дислокации [33]. Наоборот, формирование дислокаций в островковой пленке может способствовать изменению формы островков [30] и, в частности, приводить к уменьшению их высоты [33-35]. Кроме дислокаций, важным фактором, оказывающем влияние на размер и форму островков, является диффузия. Диффузия атомов из подложки или

матрицы в островки уменьшает несоответствие параметров кристалличе­

ских решеток между подложкой (матрицей) и островками и тем самым приводит к релаксации напряжений в островках. В результате после пре­ рывания роста островковой пленки диффузия может вызвать трансформа­ цию островка, обратную той, которая происходит при росте пленки. Так, в работах [25,26] при нанесении на островковую пленку Ge на подложке Si тонкого слоя Si, лишь частично покрывающего островки, наблюдалось превращение куполообразных островков в пирамидальные и последующий распад образующихся пирамидальных островков на ступеньки.

Островки на поверхностях кристаллов являются представителями более

широкого класса элитаксиальных наноструктур, включающих, в частности,

также периодически фасетированные поверхности и периодические струк­ туры плоских доменов [8,9, 17]. Образование всех этих структур является средством уменьшить энергию напряженной пленки, а возникающая в про­ цессе роста морфология пленки определяется упругими свойствами пленки и подложки, анизотропией их поверхностной энергии, типами и значениями параметров их кристаллических решеток. Например, периодически фасети­

рованные поверхности могут возникать на начальных этапа роста пленок на

периодически фасетированных подложках со ступеньками. В свою очередь, образование фасеток на поверхностях подложек происходит в результате отличия поверхности реальных подложек от поверхностей с наименьшей поверхностной энергией и является средством уменьшить поверхностную энергию подложек. Образование фасетированных поверхностей подложек возможно также путем целенаправленного получения подложек, свобод­

ная поверхность которых разориентирована относительно поверхности с

наименьшей поверхностной энергией на малый угол. На начальной стадии роста пленки на такой подложке ступеньки на поверхности пленки могут повторять ступеньки на поверхности подложки, приводя к образованию на­ нопроволок [9,36]. Такие нанопроволоки могут затем работать в качестве квантовых проволок [17].

В процессе роста пленки ее морфология постепенно меняется. Так, для систем GexSil-х/Si(ООI) на начальных этапах роста пленки происходит ре­ конструкция ее поверхности, связанная с образованием на ней отдельных

ступенек, которые частично наследуют ступеньки, имевшиеся на поверх­

ности подложки [9,22,37,38]. При достаточно большом несоответствии

подложки и пленки дальнейший рост пленки приводит к коагуляции этих ступенек [9,39-41] и образованию на поверхности пленки нанопроволок с

10

сечением в виде равнобедренного треугольника [9,39]. С увеличением тол­ щины пленки и ростом ее упругой энергии в ней, наряду с перераспределе­ нием уже имеющихся ступенек, происходит формирование новых ступенек, вызывающих образование трехмерных когерентных островков. Для систем GexSil-х/Si(ООI) первоначально растущие островки имеют форму хижин или пирамид с углом наклона граней 11о [21-24,42]. С увеличением тол­ щины островковой пленки размер островков растет, и в них возникают но­ вые грани. Появление новых граней означает изменение формы островков и превращение их в купола [29,30,43-46].

Одновременно вследствие роста размеров островков на границе остров­ ков и пленки начинают образовываться дислокации [24,34,47-53]. При дальнейшем росте толщины пленки плотность дислокаций увеличивается. В результате формируется пленка с сеткой краевых дислокаций на границе пленки и подложки. Такие сетки дислокаций могут быть довольно упоря­

доченными [48,54-59].

Заметим, что различные типы морфологии пленки могут сосущество­ вать. Например, в эксперименте [60,61] в пленке Siо.7Gео.з на кремниевой подложке наблюдались островки, растущие на нанопроволоках, а граница пленки и подложки содержала сетку дислокаций. Кроме того, различные типы наноструктур, образующихся в процессе гетероэпитаксиального ро­

ста, а также дислокации, оказывают взаимное влияние.

Как и образование островков, формирование дислокаций в пленке яв­ ляется способом релаксации ее упругих напряжений, возникающих в силу различия (несоответствия) параметров кристаллических решеток подлож­ ки и пленки. Такие дислокации обычно образуются на межфазной границе подложки и пленки или вблизи нее и называются дислокациями несоот­ ветствия. Дислокации несоответствия являются одним из типов дефектов несоответствия, образующихся в гетеросистемах. Кроме дислокаций к та­ ким дефектам относятся двойники, дефекты упаковки, ступеньки, трещины и дисклинации. Механизмы образования подобных дефектов будут рас­ смотрены в следующем параграфе.

1.2. ДЕФЕКТЫ НЕСООТВЕТСТВИЯ В ПЛЕНОЧНЫХ ГЕТЕРОСИСТЕМАХ

Формирование дефектов несоответствия происходит на стадии изготов­ ления гетеросистемы и может осуществляться различными путями [62, 63]. Так, наиболее распространенным механизмом образования дислокаций несоответствия (ДН) является зарождение дислокационных полупетель на свободной поверхности, их последующее расширение и скольжение и/или переползание к межфазной границе [62-65]. Дислокации несоответствия могут также формироваться вследствие действия дислокационных источ­ ников [62,63] или посредством их зарождения на боковых свободных по­ верхностях и последующего скольжения вдоль межфазной границы [63,66].

11

Кроме полных дн в пленках часто образуются частичные ДН, связан­ ные дефектами упаковки [63,67-69]. Частичные ДН формируются в плен­

ках в результате скольжения расщепленныхдислокационныхполупетель со

свободных поверхностей или после расщепления скользящих к межфазной границе полных ДН. В частности, образование частичных ДН, связанных V -образными дефектами упаковки, возможно при больших несоответствиях

пара метров кристаллических решеток контактирующих компонент и пред­

шествует появлению полных ДН [70,71].

В тонкопленочных гетеросистемах ДН могут образовывать различные конфигурации. Чаще всего ДН формируют дислокационные сетки, распо­ лагающиеся на межфазной границе или вблизи нее [62,65]. Однако наряду с плоскими ансамблями ДН в пленках могут возникать ансамбли дислока­ ционных стенок, образующих малоугловые границы наклона. Эксперимен­ тальные свидетельства [72-74] присутствия малоугловых границ наклона были продемонстрированы в элитаксиальных пленках GaN. Необходимо,

однако, отметить, что эти границы производили как положительные, так

и отрицательные разориентации, не вызывая таким образом изгиба слоев GaN в целом. Это означает, что нет смысла рассматривать такие дислока­ ционные стенки в качестве дефектов несоответствия, хотя они и аккомо­

дировали локальные упругие напряжения, происхождение которых пока не

вполне ясно.

Кроме дислокационных сеток и дислокационных стенок ДН в системах с несоответствием могут также образовывать дипольные конфигурации. В частности, диполи ДН могут формироваться в пленках, помещенных между двумя идентичными слоями подложки [75,76], а также нанокристалличе­ ских и композиционно неоднородных пленках [77-79].

Таким образом, релаксация напряжений несоответствияв тонких плен­ ках может происходить посредством формирования в них полных или ча­ стичных ДН, образующих различные конфигурации. Еще один способ ак­ комодации напряжений несоответствия в гетеросистемах заключается в формированиив таких системах клиновых писклинаций.Частичные клино­ вые дисклинации могут быть связаны со стыками двойников, границ зерен или фрагментов [80]. Они наблюдаются, например, в вершинах двойников, в частности, в тонких эпитаксиальных пленках Ge [81,82] и SiGe [69,83,84] на кремниевых подложках. Прямые экспериментальные свидетельства об­ разования таких дисклинационных дефектов в системах снесоответствием были продемонстрированы в [69,81-84]. Например, в [82,83] эксперимен­ тально исследовался дефект в форме клина с упругими свойствами тре­ угольника клиновых дисклинаций, Дисклинационный дефект зарождался на свободной поверхности пленки и скользил к межфазной границе. При этом [83] на первой стадии формировался V-образный дефект, обладающий свойствами одиночной дисклинации. На второй стадии V -образный дефект превращался в u- образный двойник, описываемый дисклинационным тре­

угольником.

12

Такой дефект создает такие же дальнодействующие поля напряжений, как и краевая дислокация, и, следовательно, эффективно аккомодирует на­ пряжения несоответствия. Согласно [83], формирование И-образного де­ фекта включает следующие этапы:

(i) термически активированное зарождение V -образного дефекта, (ii) рост стабильного зародыша,

(iii) переход от V -образного дефекта к И-образному двойнику, (iv) рост И-образного двойника и

(у) закрепление дефекта на межфазной границе.

В работе [69] предложен механизм образования V -образных и И-сб­ разных дефектов, наблюдавшихся в тонких гетероэпитаксиальных пленках Sil-хGех/Si (100), связанный с наличием неоднородного рельефа поверхно­ сти. Согласно [83], быстрая диффузия материала из "долин" к "вершинам" приводит к образованию в долинах дисклинационных дефектов (долину можно представить, например, как область возле плоской поверхности, где вырезан клин). Образование неоднородного рельефа поверхности приводит к релаксации упругих напряжений несоответствия. После релаксации на­ пряжений происходит обратный приток атомов с вершин в долины (запол­ нение вырезанных клиньев материалом), что вызывает поглощение дискли­ национных дефектов. В [83] предложены также атомистические модели образования таких дефектов.

Рассмотрев механизмы образования дефектов несоответствия в тонко­ пленочных гетеросистемах, кратко остановимся на способах их теоретиче­ ского описания. Исторической первой теорией, позволившей предсказать появление ДН, была полумикроскопическая теория [85]. В рамках этой

теории пленка и подложка рассматривались как сплошные упругие среды

сразличными упругими модулями, а граница раздела характеризовалась

поверхностным периодическим потенциалом. В результате энергия системы была представлена как функция от перемещений атомов, которые вычис­ лялись из условия минимума этой энергии. Из полученного решения для перемещений атомов авторами [85] был сделан вывод о наличии в гетероси­ стеме сетки ДН. Вслед за полумикроскопической теорией был предложен микроскопический подход [86-88] к описанию гетеросистем, основанный на расчете их энергий из первых принципов. В рамках микроскопического

подхода энергия системы выражалась через атомные псевдопотснциалы, а

решение сводилось к минимизации этой системы по перемещениям всех атомов. Альтернативой полумикроскопическому и микроскопическому под­ ходам явилось макроскопическое рассмотрение [89], при котором пленка и подложка представляют собой сплошные упругие среды с различными

упругими константами, а на границе раздела пленки и подложки допуска­

ются разрывы деформаций.

Указанные подходы, основанные на минимизации энергии системы, да­ ют возможность определения критических параметров системы (например, критической толщины пленки или критического значения несоответствия),

13

J-.y

х

Рис. 1.2. Некогерентная (а) и когерентная (Ь) граница раздела двух фаз.

при которых возможно формирование устойчивых конфигураций дефектов несоответствия. Необходимо отметить, что данные энергетические подхо­ ды предсказывают лишь необходимые условия для образования дефектов при условии наличия механизмов для их внедрения. В этих подходах не учитываются энергетические барьеры для движения дефектов несоответ­ ствия, температура и условия выращивания пленок. Указанные недостатки

приводят к заниженным, по сравнению с экспериментальными данными,

значениям критической толщины пленки и критического несоответствия. Поскольку макроскопический подход к описанию дефектов несоответ­

ствия является наиболее распространенным и будет использоваться в по­

следующих главах, остановимся на нем подробнее. Рассмотрим границу

раздела двух фаз 1 и 2 (рис. 1.2). Пусть величины a~l) и a~2) обозначают

межатомные расстояния фаз 1 и 2 в направлении осей х и у. Если система, состоящая из фаз 1 и 2, не деформирована (рис. 1.2а), граница раздела фаз не когерентна. Для образования когерентной границы (рис. 1.2Ь), на которой каждый приграничный атом фазы 1 связан с единственным при­ граничным атомом фазы 2, система вынуждена деформироваться. Условие когерентности границы имеет вид [62]

(1.1 )

где i == х, у, E~il) И E~;) обозначают компоненты тензора упругих деформаций

фаз 1 и 2, и предполагается, что правило суммирования по повторяющимся индексам не выполняется. Несоответствия fi кристаллических решеток фаз

14

и 2, как правило, определяются по одной из трех формул [62]:

(1.2)

(1.3)

или

(1.4)

В случае кубических кристаллических решеток фаз 1 и 2 получаем: a~k) == a~k) (k == 1,2), откуда следует, что несоответствиепараметров решетокдвух

по формуле (1.2). Таким образом, правая часть формулы (1.3) определяет упругую деформацию в фазе 2, если фаза 1 остается недеформированной. Такая ситуация имеет место, например, в случае, если фаза 2 представляет собой пленку, а фаза 1 - полубесконечную подложку. Наоборот, если плен­ ку представляет собой фаза 1, а полубесконечную подложку - фаза 2, то упругую деформацию в пленке определяет (с точностью до знака) правая часть формулы (1.2). Если вызванные несоответствием упругие деформа­

ции в фазах 1 и 2 возле их границы достаточно близки, скачок деформаций

E'~;) -E'~;) на границе наиболее точно описывает правая часть формулы (1.4).

Вместе с тем для обычно встречающихся значений несоответствия, не пре­ вышающих нескольких сотых, различие между значениями fi, получаемых по формулам (1.2), (1.3) и (1.4), несущественно.

Величины fi описывают дилатационное несоответствие соприкасающих­ ся кристаллических решеток, связанное с различием их параметров. Наря­

ду с дилатационным несоответствием граница раздела может также харак­

теризоваться ориентационным несоответствием соприкасающихся кристал­

лических решеток. Ориентационное несоответствие возникает на границе

раздела в случае, если кристаллическое решетки соприкасающихся фаз

имеют различные типы или повернуты друг относительно друга.

При наличии ориентационного несоответствия на границе раздела тер­

пят разрыв не только нормальные хх- и уу-компоненты, но и сдвиговая ху-

15

компонента тензоров упругих деформаций e(l) и е(2). Произвольное несо­

ответствие на границе раздела фаз удобно описывать с помощью тензора собственной деформации. Если хотя бы одна из контактирующихфаз одно­ родна, то собственная деформация этой фазы (матрицы) полагается равной нулю. Тензор собственной деформация другой фазы (включения) в этом случае противоположен по знаку тензору деформации, которую необходи­ мо приложить к включению, чтобы в каждой его точке базисные векторы его кристаллической решетки совпали с базисными векторами кристалли­ ческой решетки матрицы. В частности, если включение и матрица имеют кубические кристаллические решетки с близкими параметрами ai и ат соответственно, то тензор собственной деформации включения ен опреде­

Рассмотрение двухфазной или многофазной системы как матрицы и включений, характеризуемых заданной собственной деформацией, позво­ ляет вычислить возникающие в такой системе упругие поля напряжений

идеформаций и тем самым рассчитать необходимые условия зарождения

вней дефектов несоответствия в рамках теории упругости. Кроме того, данный подход позволяет рассчитать равновесные размеры и формы ост­

ровков и нанопроволок, условия, при которых энергетически выгодна их

коагуляция, служит основой для кинетических моделей роста островков и расчета их электронных свойств. Между тем, несмотря на большое число имеющихся решений для включений различной формы в средах различ­ ной геометрии, в значительном количестве работ, где производится расчет упругих полей квантовых точек в матрице, для последних используется чрезмерно, на наш взгляд, упрощенное приближение центра дилатации. Кроме того, в последние несколько лет было проведено огромное коли­ чество расчетов деформаций и напряжений в квантовых точках методами молекулярной динамики и конечных элементов. Получаемые таким образом численные решения нередко дублируют полученные ранее аналитические решения. Заметим также, что многие задачи для включений, которыми обычно моделируют квантовые точки, недавно были решены повторно. Эти обстоятельства побудили нас к написанию краткого обзора задач теории упругости, решенных для включений, который мы приводим В следующей главе. Мы рассмотрим только задачи, решенные в рамках линейной теории упругости. (Отметим, что в последние несколько лет решалось также нема­ ло задач для включений в пьезоэлектрических средах (например, [90-93])). Не рассматривая всех методов решения подобных задач, в следующей главе мы также кратко изложим методы расчета, используемые нами в дальней­ шем: методы функций Грина, дислокаций и дислокационных петель, беско­ нечно малых включений, а также метод, основанный на непосредственном интегрировании уравнений равновесия.

16

ГЛАВА 2. УПРУГИЕ ПОЛЯ KBAHTOBbIX ТОЧЕК

ИНАНОПРОВОЛОКВ МАТРИЦЕ

вэтой главе мы будем рассматривать упругие поля деформаций и напря­ жений островков (квантовых точек) и нанопроволок, помещенных в мат­

рицу. С точки зрения континуальной механики островки и нанопроволоки представляют собой включения, а разница между квантовыми точками и нанопроволокамисводится лишь к отличию их размеров и формы. Посколь­ ку в настоящей главе квантовые точки и нанопроволоки рассматриваются лишь как включения, характеризуемыезаданной собственнойдеформацией, в пределах этой главы мы, говоря о квантовыхточках, будем подразумевать

как квантовые точки, так и нанопроволоки.

Упругие поля квантовых точек (КТ) в матрице оказывают определя­ ющее влияния на их электронные свойства. В многослойных ансамблях

квантовых точек они также управляют пространственным расположением

последующихслоев КТ и, как следствие, влияют на их размер и форму. При

определенных условиях это позволяет увеличить степень пространственно­

го упорядочивания КТ, а также сузить их распределение по размерам, что необходимо для применения КТ в оптоэлектронныхприборах.

Упругие поля КТ зависят от целого ряда факторов, к числу которых от­ носятся материальныеи геометрическиепараметры (типы и параметры кри­ сталлическихрешеток КТ и матрицы, их упругие константы, размер и фор­ ма КТ, расстояние от КТ до свободной поверхности матрицы, поверхност­ ная энергия границы раздела КТ и матрицы), степень взаимной диффузии атомов КТ и матрицы, а дЛЯ КТ, представляющихсобой твердый раствор, также возможнаясегрегация атомов одного сорта. Несмотря на очень суще­ ственную взаимную диффузию атомов КТ и матрицы [25,94-104], расчет упругих полей КТ с учетом реального пространственнонеоднородногорас­ пределения концентраций различных компонент представляет собой очень сложную задачу. Поэтому при расчете упругих полей КТ обычно модели­ руются как однородные включения. Для расчета упругих полей КТ исполь­ зуют методы, основанные на классическойтеории упругости [105-129,179], атомистические расчеты [109, 122, 130-139], а также методы, сочетающие упругие континуальные модели КТ с атомистическими расчетами (напри­ мер, [140]). В континуальных моделях, основанных на теории упругости, КТ в матрице рассматриваются как изотропные или анизотропные вклю­ чения. При этом упругие модули КТ, как правило, полагаются равными упругим модулям матрицы, а включения характеризуются тензором соб­ ственной (неупругой) деформации, связанной с отличием параметров кри­ сталлических решеток КТ и матрицы. Расчет упругих полей КТ в матрице в рамках континуальных моделей осуществляется аналитическими метода­

ми [105,106,108,110-112,117-120,124,126,179] или численными методами

(конечных элементов [105,107,113,115,116,121,122,125,127-129], гранич­

ных элементов (например, [123]) или конечных разностей [109]). к досто­ инствам континуальных моделей относится их общность, позволяющая с единых позиций рассматривать различные материалы. Правда, использова­ ние классической линейной теории упругости для КТ может приводить к неточностям при расчете упругих полей КТ в случаях, если КТ представля­ ет собой фасетированное включение, если размеры КТ очень малы, а также если несоответствие параметров кристаллических решеток КТ и матрицы

очень велико.

Применение линейной теории упругости к фасетированным включе­ ниям приводит к расходимости деформаций на ребрах, ограничивающих фасетки, поэтому в областях вблизи этих ребер линейная теория упру­ гости неприменима. Однако поскольку размеры этих областей очень ма­

лы, неточности, создаваемые их присутствием, являются несущественны­

ми. Для оценки применимости линейной теории упругости при малых раз­ мерах КТ необходимо сравнение полученных в ее рамках упругих по­ лей КТ с атомистическим расчетами. Такое сравнение, проведенное для сферических включений [136], показало, что величины деформаций, да­ ваемые теорией упругости, идеально согласуются с полями, полеченными

молекулярио-динамическим моделированием, если радиус включения пре­

вышает 5 межатомных расстояний, и имеют не очень существенные расхо­ ждения при радиусе включения в 4-5 межатомных расстояний. В других работах [109,121,132], посвященных сравнению различных методов расче­ та упругих полей КТ, поля, полученные с помощью атомистических рас­ четов, лишь немного отличались от полей, рассчитанных в рамках теории упругости. Сколь-нибудь существенное отличие результатов упругих и ато­ мистических моделей возникает только в случае больших несоогветствий параметров кристаллических решеток КТ и матрицы [109] и, по-видимому, связано преимущественно с погрешностями линейной теории упругости при больших деформациях.

Таким образом, сравнение результатов, полученных в рамках класси­ ческой теории упругости, с атомистическими расчетами свидетельствует о возможности использования дЛЯ КТ упругих моделей включений и рас­ чета упругих полей этих включений с помощью линейной теории упруго­ сти. Не останавливаясь на численных методах расчета упругих полей КТ, в следующих параграфах мы дадим краткий обзор аналитических реше­ ний для упругих полей включений в различных средах, а также наиболее распространенных методов их расчета. В последующих главах мы также рассмотрим приложение этих решений к анализу пространственного упо­ рядочивания КТ и определению необходимых условий образования в КТ дефектов несоответствия.

18

2.1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ВКЛЮЧЕНИЯХ

Рассмотрим область материала, где в дополнение к упругим деформациям действуют неупругие (собственные) деформации. Такие деформации мо­

гут являться следствием термического расширения или сжатия материала

инесоответствия пара метров кристаллических решеток включения и мат­

рицы, а также возникать в ходе фазовых превращений или пластической деформации. Следуя Муре [141], будем называть такую область включе­

нием, если ее упругие константы равны упругим константам остального

материала (матрицы), и неоднородностью, если ее упругие константы отли­ чаются от упругих констант матрицы. В дальнейшем мы в основном будем рассматривать включения, поскольку большинство существующих упругих моделей КТ не учитывают различие упругих констант КТ и матрицы. Для наиболее распространенных полупроводниковых гетероструктур, использу­ ющихся для получения КТ, это различие в самом деле невелико.

Точные аналитические решения задач о включениях имеются для изо­ тропных и анизотропных включений, расположенных в бесконечной или полубесконечной среде, пластине конечной толщины, цилиндре, а также бесконечной плоскости или полуплоскости. Рассмотрим сначала работы, посвященные упругим полям изотропных включений в бесконечной среде. Одной из первых работ таких является работа [142], в которой собствен­ ные деформации возникали вследствие термического расширения матери­

ала и рассматривались эллиптическое и прямоугольное включение в тон­

кой бесконечной пластине. Позднее были решены задачи о термических

напряжениях, вызываемых эллипсоидом вращения и равномерно нагретым

полубесконечным круглым цилиндром [143, 144]. Решение задачи об эл­ липсоидальном включении в изотропной бесконечной среде, испытываю­ щем произвольную однородную собственную деформацию, было впервые получено в работах Эшелби [145-147], собранных в книге [148]. Эшелби, в частности, показал, что упругие деформации и напряжения внутри эллип­ соидального включения, расположенного в бесконечной среде, однородны. Частным случаями эллипсоидального включения являются цилиндрическое и сферическое включения. Выражения для упругих полей, создаваемых упругим цилиндрическим включением с трехосной дилатацией получены в работе [149] с помощью уравнений равновесия. В работе [150] упругие поля перемещений, деформаций и напряжений для сферического включе­ ния с одноосной дилатацией получены с помощью непрерывного распреде­ ления круговых дислокационных петель по поверхности сферы. Недавно с помощью функции Грина были рассчитаны поля напряжений включений, имеющих форму полусферы [151] и цилиндра конечной длины [152].

В перечисленных выше решениях [143-150] для эллипсоидальных вклю­ чений создаваемые ими упругие деформации и напряжения, не испытывают расходимостей, Иначе обстоит дело с фасетированными включениями. Уже первое решение Гудиера [142] для прямоугольного включения в тонкой пла-

19