Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / Наномеханика квантовых точек и проволок (Овидько), 2004, c.167

Теперь из последнего соотношения и формул (6.1), (6.2), (6.4) и (6.7) получаем следующее выражение для ~W2P-C:

При ~W2P-C < О состояние с двумя частичными дислокациями в остров­ ке энергетически выгоднее, чем когерентное состояние. В этом случае для заданного положения середины дефекта упаковки (находящегося на рас­ стоянии (ll + l2)/2 от точки А) равновесное расстояние ЛО между двумя частичными дислокациями соответствуетминимуму энергии ДW2P- C как функции расстояния л == II - l2 между дислокациями.

Рассмотрим теперь случаи, когда граница островка и подложки содер­ жит одну частичную дислокацию (рис. 6.5d) или одну полную дислокацию (рис. 6.5Ь). Изменения энергии системы ~W1P-C и ~WL-C, связанные с образованием на границе островка и подложки соответственно частичной и полной дислокации, рассчитываются по формулам

Сравнение энергий ~W2P-C, ~W1P-C и ~WL-C позволяет выявить наиболее энергетически выгодные структуры межфазной границы и ее транс­ формации в зависимости от параметров островка. С помощью формул (6.8)- (б.l0) были рассчитаны зависимости энергий ~W2P-C Iл==ло' ~W1P-C И ~WL-C от z/a. Параметр z представляет собой соответственно координату полной дислокации (z == ll) и частичной дислокации (z == ll) в случа­ ях, показанных на рис. 6.5Ь и 6.5d соответственно, и координату центра дефекта упаковки (z == (ll +l2)/2) в случае наличия двух частичныхдисло­ каций (рис. б.5с). Рассчитанныезависимости представленына рис. 6.7 для

следующих значений параметров, характерных для трехмерных островков

Ge/Si(IOO): f == 0.042, а == 0.566 нм, L == 100а, '"у == 6.9 ·10-2 дж/м2 , !-L == 40

ГПа, l/ == 0.26. Кривые 1, 2 и 3 на рис. б.7 соответствуют зависимостям

ДW2р-С(Л == ло, Ь1 == Ь2 == а/2), ДW1Р-С(Ь1 == а/2) и ДWL-с(2Ь == а) от z/a. Зависимость ло(z/а) показана на рис. 6.7 непрерывной линией 4.

Для заданного z нижняя из 3 кривых (~W2р-сlл==ло' ~W1P-C и ~WL-C), показанных на рис. 6.7, соответствует наиболее энергетически выгодной дислокационной конфигурации при данном значении z. Как сле­ дует из рис. б.7, формирование одиночной частичной дислокации энергети­ чески невыгодно ни при каком значении z. В интервалах 0.03 < z/L < 0.36 и 0.64 < z/L < 0.97 наименьшей энергией обладает система с двумя

120

".

",,, ,, ,,,,'3

Рис. 6.7. Зависимости энергий ~W2P-L (кривая 1), ~WIP-L (кривая 2) и ~WL-C (кривая 3) от координаты z/ а. Энергии приведены в единицах J1a2 / [4Jr (1 - v)]. Зависимость ло(z/а) показана как непрерывная кривая 4 (из работы [351 ]).

частичными дислокациями (рис. б.5с). В интервале 0.36 < z/L < 0.64 наименьшую энергию имеет система с полной дислокаций несоответствия (рис. б.5Ь). Следовательно, возможна ситуация, когда в процессе движе­ ния дислокаций вдоль границы островка и подложки сначала образуются

две частичные дислокации, а затем они сливаются в полную дислокацию,

расположенную в центре основания островка. У самого края островка (при z/L < 0.03 и z/L > 0.97) предложенная в [351] модель не позволяет опре­ делить наиболее выгодную дислокационную конфигурацию, так как в этом случае используемые формулы для энергий дислокаций у свободной по­

верхности оказываются недостаточно точны.

Таким образом, результаты работы [351] свидетельствуют о том, что вблизи края островка энергетически выгодно раСLЦепление полной дисло­ кации несоответствия на две частичные дислокации, связанные дефектом

упаковки.

В модели [351] рассмотрение дислокаций в островке сводилось к анали­ зу энергетики дислокаций вблизи плоской свободной поверхности. Другая модель, описывающая полные и частичные дислокации в островках, бы­ ла предложена в работе [352]. В этой работе подложка и островок моде­

лировались как цилиндрические сегменты, вместе составляющие цилиндр

радиуса R (рис. 6.8). Как и модель [351], двумерная модель [352] точнее

описывает дислокации не в островке, а в нанопроволоке, но, по-видимому,

ее качетвенные результаты могут также быть распространены на случай трехмерных островков. Как и ранее, в [352] подложка и островок пред­

полагались упругоизотропными твердыми телами с одинаковыми модулями

сдвига f.L и коэффициентами Пуассона 1/, но несоответствиепараметров кри-

121

nanoisland у

а\

substrate

Рис. 6.8. Дислокация несоответствия в двухфазном цилиндре с плоской границей раздела фаз (островка и подложки). Несоответствие параметров кристаллических решеток соприкасающихся фаз моделируется непрерывным распределением вирту­ альных дислокаций вдоль межфазной границы (из работы [352]).

сталлических решеток островка и подложки для простоты полагалось не

двумерным, а одномерным. Иными словами, пара метры кристаллических

решеток островка и подложки в направлении, параллельном оси цилин­

дра, полагались равными, а различие параметров а и as кристаллических

решеток островка и подложки в направлении оси х (см. рис. 6.8) опреде­ лялось, как и в предыдущей работе, соотношением f == 2(а - as)/(a + as). Граница раздела островка и подложки представляла собой полосу шири­ ны l, которая пересекает цилиндр параллельно его оси под углом а к его поверхности. Предполагалось, что угол а соответствует углу между осно­ ванием реального островка и его боковой гранью. В системе координат, изображенной на рис. б.8, граница островка и подложки занимала область (Ixl < l/2 == Rsina, У == Уа == Rcosa). Несоответствиеf кристаллических

решеток островка и подложки моделировалось виртуальными дислокация­

ми (с бесконечно малыми векторами Бюргерса db == - f dx ех) , равномерно распределенными по границе островка и подложки. Исследовались условия зарождения на границе островка и подложки полной дислокации несоответ­ ствия (ДН), пары частичных ДН или одной частичной ДН (см. рис. б.5).

Рассмотрим сначала условия образования в цилиндрическом островке

полной ДН. Пусть такая ДН имеет координаты (х == Ха, У == Уа) и вектор

Бюргерса 2Ь == 2Ьех, где Ь == а/2 (рис. 6.8). Изменение энергии ~Иr системы

122

"островок-подложка", связанное с образованием ДН, представимо в виде

(6.11)

где Wd(x', Ь') - собственная энергия ДН с вектором Бюргерса Ь'ех, рас­ положенной в точке х == х', Wd-!(x', Ь') - энергия взаимодействия такой ДН с полем упругих напряжений несоответствия, а ИrС(Ь') - энергия яд­ ра такой ДН. Рассчитаем энергии Wd, Wd-! и "Иrс, входящие в формулу (6.11). Энергия ядра ДН "ИrС(Ь') ~ Db,2/2 [277], где D == /L/[2Jr(1 - у)]. Собственная энергия Wd(x', Ь') дислокации в цилиндре рассчитывается по формуле [307]

уу Scyl

в формуле (6.12) Scyl - поверхность цилиндра, Score - поверхность ядра ДН (цилиндра радиуса Ь), а Х - функция напряжений для дислокации в цилиндре, получаемая из формулы (5.3) заменой Ь на Ь'.

Необходимо отметить, что формула (6.12) является приближенной. В этой формуле величина дх/ду постоянна на свободной поверхности Scyl ци­ линдра (вследствие выполнения граничных условий на этой поверхности), но различна в различных точках поверхности Score ядра ДН. Для умень­ шения погрешности вычислений, связанной с различием дх/ду в разных точках ядра ДН (существенной, когда расстояние от ДН до свободной по­ верхности цилиндра сравнимо с Ь'), представим (fJx/fJy)IScore как среднее значение дх/ду в двух противоположных точках ядра ДН:

Подстановка (5.3) и (6.13) в (6.12) дает: Wd(x', Ь') == (Db'2/8)G(x', уа, '10),

где

Энергия Wd-! (х', Ь') рассчитываетсякак энергия взаимодействияДН с

непрерывно распределеннымивиртуальнымидислокациями: (рис. 6.8):

123

где dwd-d(x" х, Ь') - энергия взаимодействия ДН с вектором Бюргерса Ь', расположенной в точке (х', Уа), и виртуальной дислокации с вектором

Подставляя выражения для энергий Wd, Wd-~ и Иrс В формулу (6.11), по­

лучаем следующее выражение для энергии ~W, связанной с образованием на границе островка и подложки полной ДН:

х'=хо

Зависимости ~Иr от координаты ха/а полной ДН показаны для раз­

личных значений несоответствия f на рис. 6.9. Как след~ет из рис. 6.9, вблизи краев островка существуют области, в которых ~W увеличивает­

ся с уменьшением Ixal и ДН выталкивается из островка. При дальнейшем

уменьшении Ixa I ~W падает, и ДН притягивается к центру основания ост­

ровка. Таким образом, в случае, если формирование ДН в островке про­ исходит путем ее движения от края островка к центру его основания, ДН необходимо преодолеть область отталкивания вблизи края островка (если только несоответствие f не настолько велико, что ширина этой области становится меньше межатомного расстояния). Аналогичная ситуация име­ ет место при движении ДН от свободной поверхности сплошной пленки на подложке к межфазной границе.

Определим теперь области параметров, в которых зарождение полной ДН с вектором Бюргерса 2Ь в центре основания островка х == ха == О

энергетически выгодно. Необходимое условие формирования ДН в центре

основания островка ~Иr(ха == О) < О можно с учетом (6.19) представить в

124

образом, для островка с заданной длиной стороны основания существует

угол наклона граней островка, при котором образование дн в островке

наиболее выгодно. Зависимости ~Иr(ха ~ О) от угла а для островков с

заданным l (не приведенные здесь) также имеют минимумы при а ~ 380 в очень широком диапазоне значений l и f. Следовательно,среди различных островков с одинаковыми длинами l стороны основания зарождение ДН в островке с а ~ 380 энергетически наиболее выгодно.

Исследуем теперь возможности формирования в островке, моделируе­ мым цилиндрическим сегментом (рис. 6.8), двух частичных дислокаций с дефектом упаковки (рис. 6.5с) и равными векторами Бюргерса Ь1 ~ Ь2 ~ Ь или одной частичной дислокации с дефектом упаковки, простирающимся до левого кр,:я островка (рис. 6.5d) и вектором Бюргерса Ь1 ~ Ь. Сравним величину ~W изменения энергии островка и подложки, моделируемыми цилинлричсскими сегмент~ми, при образовании на их границе полной ДН с величинами ~w1p и ~w2P изменения этой энергии при образовании на границе островка и подложки соответственно одной или двух частичных ДН.

Изменение энергии ~w2p представимо в виде

~Иr2Р ~ W d(Xl' Ь) + W d(X2, Ь) + W d-!(Xl, Ь)

ДН между собой, а ИrТ' - энергия дефекта упаковки. Энергии Wd, Wd-! и ИrС, входящие в выражение (6.21), рассчитываются с помощью формул (6.14), (6.15), (6.18) и выражения ИrС(Ь') ~ оьэп. Энергия Иr1-2 рассчиты­ вается по формуле Иr1-2 ~ (-Ь/f)dWd-d(Хl, Х2, b)/dx, где энергия dwd- d определяется из (5.3) и (6.17). Энергия ИrТ' дефекта упаковки определяется выражением ИrТ' ~ "У(Х2 - «т). где "у - удельная энергия этого дефекта на

единицу площади, как и ранее.

Зависимости ~Иr2Р от л/а при различных значениях Ха, l ~ 100а и

а =: 11о приведены на рис. 6.11 для островков Ge/Si, характеризуемых сле­ дующими значениями параметров: f ~ 0.042, а ~ 0.566 нм, "у =: 6.9 . 10-2 Дж/м", JL ~ 40 ГПа, l/ ~ 0.26. Левые концы кривых на рис. 6.11 соответ­

ствуют случаю, когда частичные дислокации находятся на минимальном

расстоянии а друг от друга. Правые концы кривых на рис. 6.11 соответ­ ствуют случаю, когда одна из частичных дислокаций выходит на свободную

поверхность островка.

Когда одна из частичных дислокаций находится близко к краю островка,

то есть значение Ixal велико (см. кривую 1 на рис. 6.11), энергия ~W2Р(Л)

всегда положительна. В этом случае зарождение второй частичной дисло­

кации энергетически невыгодно.

126

6

Рис. 6.11. Зависимости изменения энергии ~Ит2Р (в единицах Da2 /4), связанной

с образованием в островке двух частичных дислокаций, от л/а для ха/а = 45, 39 и 25 (кривые 1, 2 и 3 соответственно) (из работы [352]).

Когда первая частичная дислокация двигается к центру островка (Ixal

уменьшается), характер зависимости ~W2Р(Л) изменяется; см. кривую 2 на рис. б.l1. В этом случае энергия ~W2Р(Л) отрицательна внекотором интервале значений Л, и существует точка л == ла, где ~W2Р(Л) имеет

минимум. Как следствие, существование в островке двух частичных дн (ри_с. б.5Ь), связанных дефектом упаковки, энергетически выгодно. Однако ~W2P растет при изменении параметра л от его наибольшего значения 22а (которое соответствует зарождению в островке второй дислокации) до 18а; см. кривую 2 на рис. 6.11. Следовательно, зарождение и последующее дви­ жение второй частичной дислокации к ее положению равновесия требует преодоления энергетического барьера.

Когда первая частичная дислокация находится близко к центру осно­ вания островка (см. кривую 3 на рис. 6.11), энергетический барьер для формирования дефектной структуры с двумя частичными дислокациями исчезает. Действительно, с уменьшением параметра л от его наибольшего значения 25а (которое соответствует зарождению второй частичной дис­ ло~ации у края островка) до 13а (где ~W2Р(Л) имеет минимум), энергия ~W2P постепенно уменьшается. В этом случае зарождение и последую­ щее дв_ижение второй частичной дислокации к ее положению равновесия, где ~W2P имеет минимум, уже не требует преодоления энергетического

Рассчитаем теперь изменение энергии ~W1P при образовании в пер­ воначально когерен_тном островке одной частичной дислокации (рис. б.Бс). Выражение для ~W1P имеет вид

(6.22)

127

шей энергией обладает структура с одной частичной ДН, соединенной с краем островка дефектом упаковки. При удалении этой частичной ДН от края островка становится выгодным формирование в островке второй ча­

стичной ДН. Как следует из рис. 6.12, при любых Ха кривая 3 расположена

выше, чем кривая 1 или 2, то есть энергия ~Иr(ха/а), связанная с обра­ зованием полной ДН, больше, чем наименьшая из энергий ~ИrIр(ха/а) и ~W2р(ха/а)lл==ло' связанных с образованием одной или двух частичных

ДН.

Таким образом, наиболее энергетически выгодной дислокационной струк­ турой вблизи края островка является одиночная частичная дислокация. В процессе движения одиночной частичной дислокации вглубь островка ста­ новится выгодно зарождение второй частичной дислокации и ее движение вдоль границы островка и подложки. Движение частичных дислокаций мо­ жет происходить до достижения ими положений равновесия, симметрично

расположенных по разные стороны от центра основания островка.

Отметим, что результаты работы [352] отличаются от результатов мо­ дели [351], предсказывающей возможность существования двух частичных дислокаций вблизи края островка и их возможного последующего слия­ ния с образованием полной дислокации в центре островка. Разумеется, обе

эти модели является сильно идеализированными и не позволяют делать

однозначных выводов о типе дислокаций, которые могут формироваться в островках и нанопроволоках. Однако результаты, полученные в рамках этих моделей, свидетельствуют об энергетической выгодности образования частичных и расщепленных дислокаций в островках и нанопроволоках в

широком диапазоне их параметров.

В работе [353] теоретически исследовалось возможность образования в островках еще одного типа дислокаций, а именно дислокаций с делокализо­ ванным ядром. Условия образования таких ДН в непрерывных пленках рас­ считывались ранее в работе [354]. В отличие от полных и частичных дис­ локаций, ядра которых представляют собой дислокационные трубки вокруг линий этих дефектов, ядра делокализованных дислокаций имеют форму по­ лос конечной ширины. Делокализованные дислокации могут быть смодели­ рованы непрерывным однородным распределением дислокаций с бесконечно малыми векторами Бюргерса вдоль полосы конечной ширины, представляю­ щей собой ядро делокализованной дислокации. При этом суммарный вектор Бюргерса этих дислокаций должен быть равен вектору Бюргерса дислока­

ции с делокализованным ядром.

В качестве геометрической модели островка на подложке в работе [353] была выбрана модель цилиндрических сегментов, предложенная в [352]. В рамках этой модели была рассчитана энергия, связанная с образованием на границе островка и подложки делокализованной дислокации. Методи­ ка расчетов была аналогична расчетной схеме, используемой в [352] для вычисления энергий полной, частичной и расщепленной дислокации. Рас­ четы показали, что энергия делокализованной дислокации в островке все-

129