Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / Наномеханика квантовых точек и проволок (Овидько), 2004, c.167

ГЛАВА 6. МОДЕЛИДИСЛОКАЦИЙВ KBAHTOBbIX

ТОЧКАХ И НАНОПРОВОЛОКАХ

Как уже упоминалось в главе 1, дислокации могут оказывать очень суще­ ственное влияние на электронные и оптические свойства систем, содержа­ щих квантовые точки и нанопроволоки, В частности, появление дислокаций

вквантовых точках и нанопроволоках может приводить к деградации их

служебных свойств. Вследствие этого расчет условий возможного зарожде­ ния дислокаций в квантовых точках и нанопроволоках имеет высокую прак­ тическую значимость. Анализ условий зарождения дислокаций в двухслой­ ных цилиндрических нанопроволоках был проведен в предыдущей главе. В настоящей главе мы рассмотрим модели дислокаций в квантовых точках и нанопроволоках, выращенных на традиционных подложках с плоской по­ верхностью. Мы проанализируем условия зарождения полных, расщеплен­ ных и делокалиэованных дислокаций, образующихся в квантовых точках и нанопроволоках, расположенных на открытой поверхности подложек, а

также дислокационные петли и дислокационные диполи, возникающие на

границе квантовых точек и нанопроволок, помещенных в матрицу.

6.1. ДИСЛОКАЦИИ В КВАНТОВЫХТОЧКАХ И НАНОПРОВОЛОКАХНА ПОДЛОЖКЕ

Образование дислокаций в островках на подложках экспериментально на­ блюдалось в различных гетеросистемах, в том числе Ge/Si [24,34,47-

49,53], IпхGаl-хАs/GаАs [47,50,52,339-341] и CoSi2/Si [51]. Первона­

чально в островках наблюдались полные 900 (то есть краевые) дислока­ ций [34,48,342-345]. Такие дислокации не очень распространеныв тонко­ пленочных гетероструктурах, а их формирование в непрерывных пленках возможно лишь в результате переползания дислокаций (процесса, гораздо более медленного, чем их скольжение) или реакций между дислокациями другого типа. Наиболее распространенными в непрерывных пленках кри­ сталлов с кубической симметрией являются 600 дислокации [52,346], то есть дислокации, вектор Бюргерса которых образует угол 600 с дислокаци­ онной линией. В отличие от 900 дислокаций 600 дислокации могут легко образовываться путем скольжения к межфазной границе пленки и подлож­ ки со свободной поверхности пленки.

В ряде экспериментов переход от преимущественного образования 600 дислокаций к преимущественному формированию 900 дислокаций наблю­ дался при переходе от послойного режима роста пленки к трехмерному режиму, характеризующемуся формированием островков. Предполагалось, что зарождение в островках 900 дислокаций происходит у края основания

110

островков, где расположены области наибольшей концентрации напряже­ ний [34,48]. Позднее, однако, наряду с 900 дислокациями, в островках были обнаружены также полные 600 дислокации [52,346].

В отличие от 900 дислокаций, наблюдавшихся в больших островках, со­ держащих много дислокаций [341], 600 дислокации были видны только в островках, содержащих одну или 2 дислокации, в областях, прилетающих к краю основания островка. Основываясь на этих наблюдениях, авторы [52] предположили, что полные 600 дислокации могут возникать в островке в результате зарождения дислокационных полупетель на его боковой поверх­ ности, вблизи края его основания, и последующего скольжения этих дис­ локационных полупетель к гетерогранице. На последующих стадиях роста островка образовавшиеся 600 дислокации с различными векторами Бюргер­ са могут объединяться, приводя к образованию 900 дислокаций, располо­ женных в центральной части островка.

Еще одна модель образования в островках полных 900 дислокаций была предложена в работе [339]. Предпосылкой для возникновения этой модели послужили экспериментальные наблюдения в островках частичных дисло­ каций [49,53,339,340]. В рамках модели [339] первоначально на краю ост­ ровка зарождается частичная дислокация Франка. В процессе последующе­ го роста островок поглощает эту дислокацию, захватывая ее внутрь себя. После поглощения дислокации островком ее удаление из островка стано­ вится затруднено, поскольку движение такой дислокации требует атомной диффузии. Врастание дислокации в островок сопровождается появлением дефекта упаковки, соединяющего ее с поверхностью островка. При после­ дующем росте островка в месте выхода дефекта упаковки на поверхность зарождается 900 частичная дислокация UUокли. Эта дислокация скользит вдоль плоскости дефекта упаковки к частичной дислокации Франка и вза­ имодействует с ней, образуя в итоге полную 900 дислокацию на межфазной

границе.

Недавно в островках Ge/Si были также обнаружены частичные 300 дис­ локации [53]. Наиболее вероятным механизмом образования таких дисло­ каций авторы [53] считают зарождение полупетель на боковой поверхности островка и их последующее скольжение к межфазной границе. По мне­ нию авторов [53], возможно, что часть наблюдаемых в островках 600 дис­ локаций образуется по механизму, аналогичному способу, предложенному в [339] для образования полных 900 дислокаций. Этот механизм включа­ ет з-арождение частичных 900 дислокаций в местах выхода на поверхность дефектов упаковки, создаваемых частичными 300 дислокациями, скольже­ ние частичных 900 дислокаций к 300 дислокациям вдоль плоскости дефекта упаковки и последующее слияние частичных 300 и частичных 900 дислока­ ций с образованием полных 600 дислокаций.

Кратко рассмотрев экспериментальные свидетельства формирования дис­ локаций в островках и геометрические модели их зарождения, перейдем к рассмотрению моделей, посвященных расчету критических параметров

111

(размеров островков или нанопроволок и величины несоответствия) форми­ рования дислокаций в островковых пленках. Одной из первых работ, посвя­ щенных теоретическому анализу условий образования дислокаций в таких пленках, является работа [347]. В этой работе было проведено сравнение двух механизмов релаксации упругой энергии пленки: образования приз­ матических островков и формирования дислокаций несоответствия. Для этой цели сравнивались энергии системы в трех состояниях: (а) непре­ рывной пленки на подложке, (Ь) когерентных островков на смачивающем слое, и (с) островков, содержащих дислокации. Разность между энерги­ ями системы в состояниях (Ь) и (а) состояла из двух слагаемых. Пер­ вое слагаемое ДЕ~lаstiс было отрицательно и представляло собой измене­ ние упругой энергии при образовании островков. Второе слагаемое ~Esurf соответствовало приросту поверхностной энергии, вызванному увеличени­ ем площади свободной поверхности в результате формирования островков. При рассмотрении островков с дислокациями предполагалось, что нали­ чие дислокации в островке приводит к релаксации его упругой энергии,

а ядро дислокации непрерывно размазано по всему основанию остров­

ка. Таким образом, энергия пленки, растущей в виде островков с дис­

локациями, складывалась из энергии ее свободной поверхности и энер­

гии E~:~rface межфазной границы, содержащей дислокации. В работе [347]

было показано, что морфология системы с

увеличением количества осажденного ма­

териала сначала происходит переход от непрерывнойпленки к когерентным

островкам, а лишь затем - от когерентных островков к островкам с дисло­

кациями. Таким образом, в этом случае в определенном интервале толщин эпитаксиального слоя возможно образование когерентных призматических островков. Такой же результат был получен в работе [348] для островков, имеющих форму пирамид.

В работе [349] рассчитывались условия образования дислокаций в тре-

112

угольных призматических нанопроволоках, растущих на периодически фа­ сетированной поверхности подложки (рис. 6.1). Косвенные эксперименталь­ ные подтверждения существования дислокаций в таких нанопроволоках IпхGаl-хАs на подложках GaAs были до этого продемонстрированы в [350]. В этой работе измерялись спектры фотолюминесценции таких нанопрово­ лок для различных значений доли х индия. Оказалось, что с увеличением х (а следовательно, и роста несоответствия параметров кристаллических решеток подложки и нанопроволок) экспериментальные значения пиков фо­ толюминесценции смещались от значений, характерных для нанопроволок, испытывающих деформации несоответствия, к значениям, характерных для практически недеформированных нанопроволок. Эти данные свидетельство­ вали о релаксации напряжений несоответствия в нанопроволоках с доста­ точно большим несоответствием. Такая релаксация напряжений несоответ­ ствия может осуществляться, в частности, путем образования на границе нанопроволок и подложки дислокаций несоответствия.

Для анализа условий зарождения дислокаций в треугольных призма­ тических нанопроволоках, растущих на периодически фасетированной по­ верхности, в работе [349] предполагалось, что ширина и высота фасеток

на поверхности подложки велика по сравнению с соответствующими раз­

мерами нанопроволок. Данное предположение позволило перейти от ряда фасеток и нанопроволок к рассмотрению одиночной "впадины", содержащей нанопроволоку (рис. 6.2).

Предполагалось, что на границе под­ ложки и нанопроволоки формируется 600

риала. Было показано, что, как и в случае тонкой непрерывной пленки на подложке,

критическое несоответствие убывает с ростом высоты h нанопроволоки, од­ нако величина критического несоответствия fc в 2-3 раза превышает кри-

113

free surface

I---;a:;~ ~

ь 111( d •

Рис. 6.3. Дислокация несоответствия на границе островка и подложки. (а) Гео­ метрическая модель островка на подложке. (Ь) Дислокация вблизи края островка. Возле края островка его цилиндрическую поверхность можно считать локально плоской. а обозначает ширину основания островка, {3 - угол, который его свобод­

ная поверхность образует с основанием.

тическое несоответствие f~ayer для образования 60° дислокации в тонкой

непрерывной пленке такой же толщины.

В работе [33] исследовались условия зарождения дислокации в островке на плоской подложке. Островок моделировался цилиндрическим сегментом бесконечной длины (рис. б.3а), то есть по сути рассматривалась нанопро­ волока. Предполагалось, что дислокация зарождается на краю этого ци­

линдрического сегмента и скользит вдоль границы островка и подложки.

Для анализа условий формирования дислокации на границе островка и подложки рассчитывались силы, действующие на дислокацию. Суммарная сила, действующая на дислокацию, представлялась в виде векторной суммы 'силы изображения, связанной со взаимодействием дислокации со свобод­ ной поверхностью, и силы взаимодействия дислокации с полем напряжений несоответствия. В первом приближении сила изображения, действующая на дислокацию на расстоянии d от края островка, была принята равной по модулю силе изображения, действующей на дислокацию, находящейся на таком же расстоянии от бесконечной плоской свободной поверхности. Для расчета силы взаимодействия дислокации снесоответствием использова­

лось решение задачи для пластины с выступающим круговым сегментом,

находящейся под действием однородной растягивающей нагрузки на беско­ нечности. Это решение было упрощено для случая, когда дислокация нахо­ дится вблизи края островка, и подложка с островком могут моделироваться как упругий клин (рис. 6.3Ь). Критические параметры образования дисло­

кации на границе островка и подложки определялись из условия равенства

нулю суммарной силы, действующей на дислокацию.

Расчеты, проведенные в [33], показали, что зарождение дислокации в

островке возможно, если ширина а основания островка превышает неко­

торый критический размер аст. Зависимости параметра ln(acr/b) (где Ь - величина вектора Бюргерса дислокации) от угла наклона {3 свободной по-

114

20

ности островка к его основанию для различных значений несоответствия е-, (из работы [33], с разрешения авторов).

верхности островка к основанию приведены на рис. 6.4 для различных значений несоответствия Ет. Как следует из рис. 6.4, величина аст умень­ шается с ростом несоответствия. При этом для заданного несоответствия Ет существует некоторая ширина ас основания островка (равная миниму­ му функции асr(fЗ)), до достижения которой формирование дислокации в островке невыгодно ни при каких значениях углов наклона fЗ его боко­ вых граней. Значения ас, рассчитанные в [33], оказались довольно велики. Например, при несоответствии €т == 0.04 имеем: ас ~ 400Ь.

Наряду с условиями образования дислокаций в островке в работе [33] рассчитывалась равновесная высота островка заданного объема до и по­ сле внедрения в него дислокации. Равновесная высота островка определя­ лась из условия минимума его энергии, рассчитываемой методом конечных элементов. Выполненный в [33] анализ показал, что введение дислокации уменьшает отношение равновесной высоты островка к его длине пример­ но на 10%. Такой же результат был получен в теоретической работе [35]. Существенное уменьшение высоты островков после образования в них дис­ локаций также наблюдалось в экспериментах [34].

В работе [52] рассчитывались условия образования 60° дислокаций в конических островках, экспериментально зафиксированных в этой же ра­ боте в системах Ino.6Gao.4As/GaAs снесоответствием 111 == 0.041. Экс­ периментальные данные, полученные авторами [52], свидетельствовали о том, что в таких системах зарождение дислокаций происходит, когда ра­ диус основания конических островков превышает некоторый критический

115

размер, зависящий от высоты островков и лежащий в интервале 15-20 нм. Для расчета условий образования дислокаций использовался энергетиче­ ский критерий. Предполагалось. что формирование дислокации в островке происходит, если оно приводит к уменьшению энергии системы. Изменение энергии, связанное с образованием дислокации, складывалось из собствен­ ной энергии дислокации и энергии ее взаимодействия снесоответствием. Для расчета этих энергий поле напряжений несоответствия, действующих в островке, рассчитывалось методом конечных элементов. Несмотря на силь­ ные упрощения и явные неточности в расчетах (для оценки собственной

энергии дислокации использовалось выражение для энергии дислокации

в бесконечной среде, а энергия взаимодействия дислокации с несоответ­

ствием содержала лишнее слагаемое, пропорциональное квадрату величины

вектора Бюргерса дислокации), авторам [52] удалось получить великолеп­

ное согласие между теоретическими и экспериментальными критическими

значениями радиусов оснований островков, при превышении которых в ост­

ровках зарождаются дислокации.

В работе [233] были рассчитаны равновесные положения дислокаций несоответствия в двумерных островках (нанопроволоках) на подложке. Фор­ ма нанопроволок предполагалась равновесной и рассчитывалась из условия

постоянства химического потенциала на поверхности нанопроволок и сма­

чивающего слоя. Напряжения несоответствия, действующие в нанопрово­

локах, рассчитывались численно с помощью метода граничных интегра­

лов. Расчеты показали, что дислокации с различными векторами Бюргер­

са имеют в нанопроволоках различные положения равновесия. Например, положение равновесия 900 дислокаций находится в центре основания на­ нопроволоки, а положения равновесия 600 дислокаций находятся под ее боковыми гранями. Этот результат соответствует экспериментальным на­ блюдениям [52,341,346] 600 дислокаций вблизи боковых поверхностей ост­ ровков, а 900 дислокаций - в центральных областях островков. Следует, однако, отметить, что, несмотря на точный численный расчет напряжений несоответствия в нанопроволоках, авторы [233] сделали в расчетах очень сильное упрощение. При расчете энергии, связанной с образованием дисло­ кации, они пренебрегли собственной энергией дислокации, оставив в рас­ четах только энергию взаимодействия дислокации с несоответствием. Тем самым авторы [233] пренебрегли притяжением дислокации к свободным поверхностям нанопроволоки. Поэтому рассчитанные в [233] положения равновесия дислокаций вряд ли можно считать точными.

В рассмотренных выше теоретических моделях рассчитывались условия формирования и положения равновесия полных дислокаций несоответствия в островках и нанопроволоках. Между тем, как уже упоминалось выше, ре­ лаксация напряжений несоответствия в островках и нанопроволоках может осуществляться посредством образования частичных дислокаций несоот­ ветствия [49,53,339,340]. Модель таких дислокаций в островках была предложена в работе [351]. Как и в работах [33,35,233], модель [351] рас-

116

(а)

А

substrate

(Ь)

А

substrate /2 ь;

--------....... (с)

/1

А

substrate

(d)

Рис. 6.5. Геометричкская модель островка на подложке. Граница островка и под­ ложки не содержит дислокаций (а), содержит одну полную дислокацию (Ь), две частичные дислокации (с) или одну частичную дислокацию (d) (из работы [351]).

сматривает двумерный островок, то есть нанопроволоку, но, по-видимому, может быть использована и для описания дислокаций в трехмерных остров­ ках. В рамках этой модели островок на подложке имел форму бесконечной треугольной призмы с шириной основания L и малым углом а наклона бо­ ковых граней (рис. 6.5). Подложка и островок считались изотропными твер­ дыми телами с одинаковыми модулями сдвига f.L и коэффициентами Пуассо­ на и, Несоответствие между параметрами а и as кристаллических решеток

островка и подложки предполагалось двумерным и чисто дилатационным

и определялось соотношением f == 2(а - as)/(a + as). Предполагалось. что краевые частичные дислокации, связанные с дефектом упаковки, зарожда­

ются на краю островка и скользят внутрь этого островка вдоль межфазной границы (рис. 6.5с и d). Для анализа условий формирования дислокаций и определения наиболее предпочтительного типа дислокации в [351] срав­

нивались энергии системы в четырех состояниях: когерентном состоянии

с бездислокационной границей (рис. 6.5а) и тремя полукогерентными со­

стояниями с межфазной границей, содержащей одну полную дислокацию (рис. 6.5Ь), две частичные дислокации (рис. 6.5с) и одну частичную дис­ локацию (рис. 6.5d). В когерентном состоянии система имеет энергию (на

117

единицу длины) W!, связанную с напряженияминесоответствия.

Рассмотримэнергии, характеризующиеполукогерентныесостояния меж­ ф-азной границы (рис. б.5Ь, с и d). Найдем сначала энергию W 2P полуко­

герентного состояния с двумя частичными дислокациями, связанными де­

фектом упаковки. Энергии wL и W1P полукогерентного состояния с одной полной решеточной дислокацией (рис. б.5Ь) и одной частичной дислокацией

(рис. б.5d) соответственно будут затем получены из выражения дЛЯ W2P . Энергия W 2P состоит из шести слагаемых: W 2P == w! + W d + W dc + W!-d + W d- d + W". Здесь w d обозначает собственную упругую энер­ гию частичных дислокаций, W dc - суммарную энергию их ядер, W!-d -

энергию взаимодействия частичных дислокаций с напряжениями несоот­

ветствия, wd-d - энергию взаимодействия дислокаций, а W" - энергию дефекта упаковки, соединяющего частичные дислокации (рис. б.5с). Пред­ полагалось. что образование частичных дислокаций в островке возможно,

если связанное с ними изменение энергии системы ~W2P-C == W 2P - W!

отрицательно, то есть

яние свободных поверхностей островка и подложки (или смачивающего слоя), экранирующих упругие поля дислокаций и приводящих к частич­ ной релаксации напряжений несоответствия. С учетом предположения о малости угла а наклона боковых граней островка экранирующее влияние свободных поверхностей островка и подложки на собственную энергию дис­

локаций wd и энергию их взаимодействияw d- d описывалось с помощью формул для энергий дислокаций у плоской свободной поверхности. В этих формулах расстояние между дислокацией и плоской свободной поверхно­ стью выбиралось равным расстоянию между дислокацией и ближайшей бо­ ковой поверхностью островка (рис. б.6). В таком приближении собственная упругая энергия двух дислокаций представима в виде

где ri (ri ~ bi) - радиус обрезания упругого поля i-ой частичной дислока­ ции (i == 1,2), di расстояние от i-ой частичной дислокации до ближайшей свободной поверхности островка. Выражение для di имеет вид

стичных дислокаций с напряжениями несоответствия рассчитывается по

118

(а)

///////

(Ь)

Рис. 6.6. Свободные поверхности островка и подложки (а) и их аппроксимация плоской свободной поверхностью (Ь), используемая для расчета энергий дислока­

ций на границе островка и подложки.

формуле

(6.4)

Энергия W d - d упругого взаимодействия между частичными дислокациями (рассчитываемая в приближении, изображенном на рис. 6.6Ь) определяется

выражением

(6.5)

С учетом формулы (6.3) и условия а « 1 выражение (6.5) можно перепи­

сать в следующем виде:

(6.6)

Суммарная энергия ядер дислокаций рассчитывается по формуле [277]

(6.7)

Энергия W" дефекта упаковки, образующегося между двумя частичными дислокациями (рис. 6.5с), определяется выражением W' = /,(l1 - l2), где /' - энергия дефекта упаковки на единицу площади.

119