5 Расчет на прочность и жесткость при растяжении

5.1 Основные определения и положения

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила.

Продольная сила в поперечном сечении бруса численно равна алгеб­раической сумме внешних сил, расположенных по одну сторону от сече­ния

(5.1)

Растягивающую продольную силу считаем положительной, а сжи­мающую отрицательной.

При растяжении и сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению. Величина нормального напряжения , МПа определяется по зависимости

, (5.2)

где F- продольная растягивающая (сжимающая) сила, Н;

А - площадь поперечного сечения, мм².

Условие прочности при растяжении сжатии

, (5.3)

где - допускаемое нормальное напряжение, МПа.

Удлинения при растяжении сжатии определяются по зависимости

, (5.4)

где l длина бруса, мм;

Е- модуль упругости при растяжении (сжатии), МПа.

Условие жесткости при растяжении (сжатии) имеет вид

, (5.5)

где - допускаемое абсолютное удлинение бруса, мм.

Закон Гука определяет деформацию при растяжении (сжатии) и формулируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально от­носительному удлинению или укорочению:

, (5.6)

где - относительное удлинение, определяемое по зависимости

. (5.7)

Предельные напряжения определяются исходя из диаграммы растя­жения материала (рис. 5.1).

a) б)

Рисунок 5.1 - Диаграммы растяжения:

а) пластичного материала; б) хрупкого материала

На диаграмме растяжения пластинчатых материалов (рис. 5.1, а) име­ются характерные точки.

Точки А соответствует предел пропорциональности : при измене­нии напряжения от 0 до выполняется закон Гука и деформации оста­ются упругими.

Точки В соответствует предел текучести : напряжение, при кото­ром происходит удлинение образца без увеличения нагрузки. Образец пла­стически деформируется «течет», деформации при этом становятся необ­ратимыми.

Точки D соответствует предел прочности : напряжение, при кото­ром начинается разрушение образца.

В точке R происходит разрушение образца.

На диаграмме растяжения хрупких материалов (рис. 5.1, б) имеется одна характерная точка D которой соответствует предел прочности и точка R разрушение материала.

Допускаемое напряжение , МПа, определяется по зависимости

, (5.8)

где - предельное напряжение, МПа. Для пластинчатого материала (сталь) - это предел текучести (рис. 5.1, а), для хрупкого материала (чугун).- это предел прочности (рис. 5.1,6);

S - коэффициент запаса прочности.

5.2 Расчетно-графическая работа №3 «Расчет на прочность и жесткость при растяжении (сжатии)»

Для заданного бруса (рис 5.2) построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Проверить прочность и жест­кость бруса.

Исходные данные для расчетов:

- схема бруса (рис. 5.2);

- размеры бруса и значения сил задаются преподавателем из таблицы 5.1 и таблицы 5.2;

- Е = 2 • 10⁵ МПа - модуль упругости при растяжении (сжатии);

- = 100 МПа - допускаемое напряжения на растяжение (сжатие);

- = 0,05 мм - допускаемое перемещение свободного конца стержня.

Рисунок 5.2 -Расчетная схема к РГР №3

Таблица 5.1 - Размеры стержня на рисунке 5.2

Номер 1 варианта	Размеры, мм
	l2	l3	l3	di	d2	d3
0	50	220	100	8	15	20
1	70	200	110	10	25	15
2	90	180	120	13	8	18
3	110	160	130	15	10	28
4	130	140	140	18	30	10
5	150	120	150	20	35	25
6	170	100	160	23	10	15
7	190	80	170	28	12	20
8	210	60	180	30	15	10
9	230	40	190	25	13	20

Таблица 5.2 - Силы, нагружающие стержень на рисунке 5.2

Номер варианта		Силы, Н
	F1	F2	F3
0	5000	2000	1000
1	7000	2500	-1000
2	9000	-2000	1200
3	1000	-1000	-2000
4	-1300	1400	1400
5	-1500	1200	-1500
6	-1700	-1000	1600
7	-1900	-800	-1700
8	2100	-600	1800
9	2300	400	-1900

Примечание: знак «-» означает, что заданная сила направлена в сто­рону обратную, указанной на рисунке.

Пример

Для заданного бруса (рис. 5.3, а) построить эпюры: продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Проверить прочность и жест­кость.

Исходные данные для расчета: F = 500H- растягивающая (сжи­мающая) сила, Л = 10 мм² - площадь поперечного сечения стержня, а = 100мм - длина, E = 2•10⁵ МПа - модуль упругости при растяжении (сжатии) для стали, = 100 МПа - допускаемое напряжения на растяже­ние (сжатие), =5-10^-2 mm - допускаемое перемещение свободного конца стержня.

Решение

1. Построение эпюры продольных сил.

Разбиваем брус на участки 1, 2, 3 (рис. 5.3, а). Границы участков - точки приложения сил и места изменения сечения бруса.

2. Проведем произвольное сечение 1-1 на участке 1 и, отбросив ле­вую часть бруса, рассмотрим равновесие правой (рис. 5.3, б). Особое вни­мание следует обратить на то, что для бруса с заделкой выбор сечения осуществляется с его свободного конца.

На оставшуюся часть бруса действует внешняя сила F. Она уравновешивается внутренней продольной силой N₁. Условие равновесия для этого участка

,

тогда

N₃ = F = 500 H .

Аналогичным образом производим расчет на детальных участках.

3. Для участка 2 (рис. 5.3, в) имеем

;

N₂ = F =500 H .

4. Для участка 3 (рис. 5.3, г) имеем

;

N₁ = -2F + F = - 500 H .

5. Строим эпюру, показывающую изменение продольной силы по длине бруса. Для этого на оси, параллельной оси бруса, в произвольном масштабе откладываем полученные значения N₁, N₂ и N₃ (положительные вверх, отрицательные вниз). Полученный график называется эпюрой про­дольных сил (рис. 5.3, д.)

В местах приложения сосредоточенных сил, на эпюре, получаются скачкообразные изменения ординат - «скачки». Размер «скачка» равен ве­личине приложенной силы.

Рисунок 5.3 – Построение эпюр

6. Построим эпюры нормальных напряжении.

Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса, на различ­ных участках, определяются делением продольной силы N_i в сечении на площадь этого сечения A_i.

На участке 1, нормальное напряжение равно

МПа.

На участке 2, нормальное напряжение равно

МПa.

На участке 3, нормальное напряжение <т₃ равно

МПа.

7. По полученным значениям а строим эпюру нормальных напряже­ний (рис. 5.3, е).

Как видим, на эпюре нормальных напряжений «скачки» получаются как в точках приложения сил, так и в местах изменения площади попереч­ного сечения бруса.

8. Построим эпюру перемещения бруса.

Эпюру перемещений сечений бруса (рис. 5.3, ж) строим исходя из эпю­ры продольных сил N Определение перемещений проводим, начиная с за­щемленного конца бруса, последовательно суммируя перемещения участков.

Перемещение третьего участка равно

мм.

Перемещение второго участка равно

мм.

Перемещение первого участка

mm.

9. Проверку прочности проводим на наиболее опасном первом уча­стке, так как на этом участке действуют максимальные напряжения (рис. 5.3, е). Условие прочности имеет вид

.

Условие прочности выполняется.

10. Проверка жесткости. По условию задачи перемещение конца стержня не должно превышать . Условие жесткости имеет вид

мм.

Условие жесткости выполняется.