Вопрос 5. Отношения между понятиями.

 

Представление отношений между понятиями с помощью кругов Эйлера.

Совместимые понятия могут находиться в отношениях:

1)       равнозначности;

2)       перекрещивания;

3)       подчинения;

4)       соподчинения.

 

Понятия, объемы которых совпадают, являются равнозначными. Примером такого отношения являются понятия «Аристотель» и «основоположник формальной логики». Графически отношение равнозначности представляется следующим образом с помощью кругов Леонарда Эйлера (российский, немецкий и швейцарский математик, внесший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук): объем первого понятия показан кругом А, объем второго – кругом В.

Понятия, объем одного из которых частью входит в объем второго, а объем второго частью входит в объем первого, находятся в отношенииперекрещивания. Например, перекрещивающимися являются понятия «школьник» и «человек, умеющий играть на пианино». В данном случае общими элементами будут «школьники, умеющие играть на пианино». Графически это отношение изображается в виде кругов А и В (см. схему ниже).

Понятия, объем одного из которых полностью принадлежит объему второго, в то время как объем второго больше объема первого, находятся в отношении подчинения. Например, отношение между понятиями «студент музыкального училища имени Гнесиных» (В) и «студент» (А) графически представляется в виде схемы:

Отношение соподчинения возникает, когда два несовместимых понятия находятся в подчинении к третьему, то есть эти два понятия не имеют общих элементов объемов и одновременно находятся в состоянии подчинения к одному и тому же понятию. Например, понятия «медведь» (В) и «лошадь» (С) находятся в отношении соподчинения к понятию «млекопитающее» (А). Данное отношение графически выражается в виде схемы:

Если же два понятия, находящиеся в отношении соподчинения, исчерпывают собой объем третьего понятия, например, как в случае «основные классы рабовладельческой общественно-экономической формации» (А), «рабовладельцы» (В), «рабы» (С), то графическая схема будет иметь вид:

Чтобы установить отношения между несколькими понятиями, их также изображают в виде круговых схем, а потом попарно называют отношения между понятиями.

 

Операции с объемами понятия.

Необходимо усвоить, что, подобно тому как в математике проводятся различные операции над числами, такие как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и т.д., в логике также сформулированы основные принципы проведения операций над объемами понятий, то есть классами. Поскольку объемы понятий суть множества, над ними можно осуществлять те же операции, что и над множествами. Они названы булевыми в честь английского логика Дж. Буля, который построил особую алгебру логики. В числе этих операций – пересечение классов, объединение классов, дополнение к классу, вычитание классов.

Допустим, даны два понятия: хА(х) и хВ(х), такие, что объем первого понятия есть W_xA(x), объем второго понятия есть W_xB(x). Тогда операции с объемами понятия будут иметь следующий вид.

Пересечение двух объемов понятий. Это операция, в результате применения которой к объемам понятий W_xA(x) и W_xB(x) образуется класс , элементами которого являются те и только те предметы, которые одновременно входят как в класс W_{xA (х)}, так и в класс W_xB(х). Эта операция обозначается знаком «».

Объединение двух объемов понятий. Это операция, в результате применения которой к объемам понятий W_xA(x) и W_xB(x) образуется класс ,элементами которого являются те и только те предметы, которые одновременно входят по крайней мере в один из объемов этих понятий. Эта операция обозначается знаком .

Дополнение к объему понятия (взятие дополнения) – это операция, в результате применения которой к объему понятий W_xA(x) образуется класс ,элементами которого являются те и только те предметы из области значений переменной х, которые одновременно не входят в класс W_xA(x).

Вычитание понятий – это операция, в результате применения которой к объемам понятий W_xA(x) и W_xB(x) образуется класс W_хА(х) \ W_xB(x), элементами которого являются те и только те элементы класса W_хА(х), которые одновременно не являются элементами класса W_xB(x). Она обозначается знаком «\».

Особенность применения к объемам понятий булевых операций – объединения, пересечения, разности множеств, взятия дополнения к множеству – состоит в том, что в результате получается множество, которое является объемом нового, сложного понятия, образуемого из содержаний исходных. Так,дополнением к объему понятия является объем отрицательного понятия. Объединение объемов понятий дает объем разделительного понятия, пересечение их объемов – объем соединительного понятия, результатом теоретико-множественного вычитания второго объема из первого будет объем соединительногопонятия.