39. Определители н-ого порядка правило крамера

Пусть имеется система уравнений:

Обозначим через Δ определитель матрицы системы и через Δ_j определитель, который получается из определителя Δ заметой j-го столбца столбцом правых частей системы ( j=1,2,...n).

Теорема 1

Если определитель матрицы отличен от нуля, т.е. Δ ≠0, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле: 

40. Понятие матрицы

Основные понятия и обозначения. Пусть m и n два произвольных натуральных числа. Матрицей размера m на n (записывается так m x n)называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа -номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами:   - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:

 - множество всех матриц размера m на n;

 - матрица A с элементами   в позиции (i,j);

 - матрица размера m на n.

Элементы   , где i=j, называются диагональными, а элементы   , где   - внедиагональными. Совокупность диагональных элементов   , где k = min (m,n), называется главной диагональю матрицы.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.

Заметим, что для каждого размера   существует своя нулевая матрица.

Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.

Матрица размера   называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера   называется матрицей столбцом или вектор-столбцом. 

41. Действия над матрицами

1.Суммой двух матриц одинакового размера A=(a_ij) и B=(b_ij) называется матрица C,

у которой (c_ij)=(a_ij+b_ij), и записывают C = A + B.

2.Произведением матрицы A=(a_ij) на число k называется такая матрица C=(c_ij), у которой (c_ij) = (ka_ij).

Для операции произведение матрицы на число справедливы следующие соотношения:

1.kA=Ak ; 2. k(A+B)=Ak+Bk ; 3.  ; 4.

3.Если A=(a_ij)_mxp, а B=(b_ij)_pxn, то произведением матрицы A на матрицу B назовем матрицу C, каждый элемент которой вычисляют по формуле:

C = AxB = (a_ij)_mxpx(b_ij)_pxn=(a_s1b_1k+a_s2b_2k+...+a_skb_sk)_mxn=(c_ij)_mxn

Из определения 12 видно, что каждый элемент матрицы C = AB, расположенный в s -ой строке и k -ом столбце равен сумме произведений элементов s -ой строки матрицы A на элементы k -го столбца матрицы B.

4. Матрица B, у которой все элементы равны элементам матрицы A по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки по сравнению со знаками соответствующих элементов матрицы A, называется противоположной матрице A и записывается B=(-1)(a_ij).

5. Если в некоторой матрице A поменять местами столбцы и строки, то полученная матрица будет называться транспонированной и обозначается A_т.

6. Обратной по отношению к матрице A называется такая матрица, для которой выполняется равенство AA^-1 = A^-1A = E

7. Если выполняется равенство A = A_т, то такая матрица называется симметрической.

42. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида: где числа a_ij называются коэффициентами системы, числа b_i— свободными членами. Подлежат нахождению числа x_n. Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме AX=B. Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

A =     ;X =       — вектор-столбец из неизвестных x_j. B =       — вектор-столбец из свободных членов b_i.

Произведение матриц  А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов =     

Решением системы называется n значений неизвестных  х₁=c₁, x₂=c₂, ..., x_n=c_n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца C =