Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима

2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.

3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора  , то она линейно зависима.

4. Система из   векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система векторов   линейно независима, а после присоединения к ней вектора   оказывается линейно зависимой, то вектор   можно разложить по векторам  , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Билет 8 Деление отрезка в заданном отношении

Билет 9 Векторное произведение векторов

Вектор   называется векторным произведением неколлинеарных векторов   и  , если:

1) его длина равна произведению длин векторов   и   на синус угла между ними:   (рис.1.42);

2) вектор   ортогонален (перпендикулярен) векторам   и  ;

3) векторы  ,  ,   (в указанном порядке) образуют правую тройку

Алгебраические свойства векторного произведения

Для любых векторов  ,  ,   и любого действительного числа  :

1.  ;

2 .;

3.  .

Геометрические свойства векторного произведения

1. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на множителях (рис. 1.42,6).

2. Векторное произведение равняется нулевому вектору тогда и только тогда, когда множители коллинеарны, т.е.

, в частности,  .

Применение

Установление коллинеарности векторов

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Б илет 10 Смешанное произведение векторов

если тройка векторов   правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах:  . В случае левой тройки   смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус:  . Если  ,   и   компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Свойства смешанного произведения:

1°    

2°    

3.° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда 

4°    Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда  . Если же  , то векторы  ,    и  образуют левую тройку векторов.

5°    

6°    

7°    

8°    

9°     формула лагранжа

10°    Тождество Якоби: 

Применение

• Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

• Определение взаимной ориентации векторов а, b и с основано на следующих соображениях. Если abc >0 , то а , b , с — правая тройка; если abc <0 , то а, b , с - левая тройка.

• Установление компланарности векторов

• Векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю

• Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Билет 11 Двойное векторное произведение Двойным векторным произведением векторов   называется вектор  , равный векторному произведению вектора   на векторное произведение векторов   и  . Произведение   обозначается также  .

Двойное векторное произведение обладает следующими свойствами, справедливыми для любых векторов  :

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4. Если  — координатные столбцы векторов   в стандартном базисе, то координатный столбец   двойного векторного произведения   находится по формуле  (мнемоническое правило: "бац" минус "цаб" или формула Лагранжа).

Первое свойство доказывается, применяя формулы вычисления скалярного и векторного произведений в ортонормированном базисе.

Второе свойство следует из первого, если сделать циклическую перестановку векторов: , , а затем сложить эти равенства вместе с исходным (учитывая коммутативность скалярного произведения).

Третье свойство следует из первого (если положить  ). Это равенство дает разложение произвольного вектора   в виде суммы ортогональной проекции  и ортогональной составляющей  вектора   относительно оси, задаваемой вектором   (см. разд. 1.6).

Последнее свойство следует из первого с учетом п.2 замечаний 1.10. Заметим, что все произведения строк и столбцов согласованы, поэтому умножения можно производить в любом порядке, разумеется, не переставляя матрицы.

Доказательства:

Введем (декартову прямоугольную) систему координат. Чтобы облегчить выкладки, расположим оси координат специальным образом, а именно: ось Ох направим по вектору  , ось Оу поместим в плоскости векторов   и   (считая, что векторы   и   приведены к общему началу). В таком случае будем иметь

,  .  .

Теперь находим

,  .

С другой стороны

,

,

,

.

Следовательно,

.

Сравнивая правые части формул (1) и (2), получаем

,

что и требовалось доказать.

12. Преобразование координат

Существует две системы корд: OXY, O’X’Y’;

1.Переход от OXY к O’XY – паралел перенос

2.От O’XY к O’X’Y’ –поворот на (gamma) осей корд

1.Формулы преобраз.Корд при паралел переносе…x=x’+x₀; y=… O’(x0,y0)в сист.OXY

M(x’,y’)–в O’XY,M(x,y) в OXY. 2.Ox’y’ и Oxy. M(x,y) в Oxy и … OM=xi+yj OM=x’i’+y’I’. Формулы преобр

X=x’cos(ϕ)-y’sin(ϕ); y=x’sin(ϕ)+y’cos(ϕ)

13.Смешан случай преобр координат

Умножем обе части уравн xi+yj=x’i₁+y’j₁

на i₁: xi i₁+yj i₁=x’i₁ i₁+y’j₁ i₁ =>x’=xcos(ϕ)+ysin(ϕ)

на j₁: xi j₁+yj j₁=x’i₁ j₁+y’j₁ j₁ =>y’=-xsin(ϕ)+y*cos(ϕ)

x’=x*cos(ϕ)+y*sin(ϕ) y’=-xsin(ϕ)+y*cos(ϕ) (сист)

14.Нормальное уравнение прямой

x *cos(α)+y*sin(α)-p=0;

n – единичный вектор

n=(cos(α);Sin(α))

OT=p пр_n0OM=p r=OM

p=(n,r)/|n₀|. (n,r)-p=0. …

15. Уравнение прямой

Прох через точку

Ax+By+C=0; необход точка и вектор нормаль.

p= -+ c/(a²+b²)^1/2 μ= -+1/(a²+b²)^1/2

Общий вид A(x-x₀)+b(y-y₀)=0 m(x₀,y₀).

(x-x₀)/m=(y-y₀)/n S(m,n) – паралел.

Две точки (x-x₁)/(x₂-x₁)=y…; M₁,M₂;

ρ(m0,l)=|Ax₀+By₀+C|/(A²+B²)^1/2

X/A+Y/B=1 В отрезках на осях

16.Особ случаи расп.прямой на плоск

1)C=0 через O(0,0) 2)A=0 L||OX 3)B=0 L||OY

4)A=C=0 y=0 лежит на OX 5)B=C=0 x=0 лежит наOY

17.Плоскость

i	j	k
0	1	2
2	4	1

n=[a2,a1] a*-векторы на(||) плоск. (вект произв) либо опред-ль.

Положение плоск. Опред точкой(М) и ненулевым вект(n)

Общ урав. Ax+By+Cz+D=0;

Через точку A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

x-x1	y-y1	z-z1
x2-x1	y2-y1	z2-z1
x3-x1	y3-y1	z3-z2

Три точки: (r-r₁,r₂-r₁,r₃-r₁)=0 или (через корд):

В отрез на осях: a-пересич с x; b-y;c-z; x/a+y/b+z/c=1

18.Особый случ расп плоск

1)D=0 L-прох чере начало корд.2)A=0; L||OX

3)B=0 ||OY 4)C=0 ||OZ; 5)A=D=0 – прох чер OX

6)B=D=0 через OY 7) C=D=0 через OZ 8)A=B=0 ||XOZ 9)A=C=0 ||XOZ 10)B=C=0 ||YOZ 11)A=B=D=0 – плоск XOY 12) A=C=D=0 – XOZ 13) B=C=D=0 –ZOY.

19.Растояние точки до прямой

Если в декартовой системе кординат задана прямая на плоскости Oxy и точка M(x₁,y₁) то расстояние высчитывается по формуле:

D = |(r₁-r₀,n)|/|n| или ρ(M₀,l)=|Ax₀+By₀+C|/(A²+B²)^1/2

20.Угол между двумя прямыми

L₁: (x-a₁)/m₁=(y-b₁)/n₁=(z-c₁)/p₁.

L₂: (x-a₂)/m₂=(y-b₂)/n₂=(z-c₂)/p₂.

S₁=(m₁;n₁;p₁), S₂=(m₂;n₂;p₂).

(S₁,S₂)=|S₁|*|S₂|*Cos(α);

Cos(α)=(S₁,S₂)/|S₁|*|S₂| =

(m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂)/(m₁²+n₁²+p₁²)^1/2*)/(m₂²+n₂²+p₂²)^1/2

21.Услов паралел.,перпен. прямых.

Так как угол между двумя прямыми высчитываеться по формуле:

Cos(ϕ)=+-(A₁A₂+B₁B₂)/((A₁²+ B₁²)^1/2*(A₂²+ B₂²)^1/2

Услов паралел: A1/A2=B1/B2

Услов перпен: A₁A₂+B₁B₂=0

22.Расстояние от точки до плоскости..

Даны плоскость (n,r-r₀) и точка M₁,

NM₁=r₁-r₀-M­₀N, умножим части равенства скалярно на вектор n₀=n/|n|:

(NM₁,n₀)=+-d;(r₁-r₀,n₀)=(r₁-r₀,n)/|n|;(M₀N,n₀)=0

d=|(r₁-r₀,n)|/|n|=>d=|Ax₁+By₁+Cz₁+D|/(A²+B²+C²)^1/2

Угол между плоскостями

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0; n₁=(A₁,B₁,C₁); A₂x+… B₂,C₂)

(n₁,n₂)=|n₁|*|n₂|*cos(α)

Cos(α)=(n₁,n₂)/|n₁|*|n₂|

Cos(α)=(A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂)/(( A₁²+B₁²+C₁²)^1/2*( A₂²+B₂²+C₂²)^1/2)

Услов паралел и перпенд плоск-тей

Для того чтобы две плоскости были паралел достаточно чтобы их норм. векторы были колинеарные: A₁/A₂= B₁/B₂= C₁/C₂

Для того чтобы две плоскости были перпенд достаточно чтобы их норм. векторы были ортогональные: A₁A₂₊B₁B₂+C₁C₂=0