85. Определённый интеграл, его свойства.
Для начала рассмотрим понятие «Криволинейная трапеция».
Криволинейная трапеция — фигура, заданная на плоскости и ограниченная прямыми х=а и х=b и функ. f(x), которая непрерывна на промежутке [a,b].
Производная от площади криволинейной трапеции — функция, ограничивающая эту трапецию.
S(x)=
=F(x)+c
86. Теорема о среднем для определенного интеграла.
Сначала рассмотрим одну теорему (Т. 1):
Если
f(x)
интегрируема на промежутке [a,b]
и m
f(x)
M,
то m*(b-a)
.
M и m — наибольшее и наименьшее значения f(x)
Теперь теорема о среднем значении определённого интеграла.
Если
f(x)
интегрируема на промежутке [a,b]
и m
f(x)
M,
то
=μ*(b-a),
m
μ
M.
Доказательство
На
основе Т.1 запишем, как будет выглядеть
m*(b-a)
для a
b.
Неравенство сохраняет знаки.
m
В
силу непрерывности f(x)
найдётся μ=
=>
.
Если
f(x)
непрерывна на промежутке [a,b],
то
=
,
c
87. Замена переменной в определенном интеграле.
Пусть f(x) интегрируема на промежутке [a,b] для всех х и x=g(t),
Есть производная g’(t1), t1 –[α,β],
a<=x<=b, α<=t<=β и g(β)=b, g(α)=a.
Тогда
=
88. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.
=S
x=a, x=b, y=0, y=f(x)
y=f1(x), y=f2(x), f2(x)>=f1(x)
S=
89. Площадь в полярных координатах.
Пусть в полярной системе координат задана секущ. D, ограниченная кривой y=g(ɸ), лучами ɸ1=α, ɸ2=β. Если g(ɸ), то α<=ɸ<=β
mi<= ɸ<=Mi
Ii=1/2*P2i*
ɸi
~≤S~≤
(с
2 чёрточками)
— сумма с недостатком
(с
2 чёрточками) — сумма с избытком
— максимальная
ɸi
,
тогда 
~≤S~≤
(в
последнем должна быть ещё одна чёрточка
над 
)
=1/2
P2i*
ɸi
=max ɸi
S=(1/2)*
90. Объем тела Разобъем плоскостями перпендикулярными на части( n произв частей)
Односвязна все сечения проектируются на максим сечение Способов делить на nчасти -беск.множеств V1,V2,V3,Vn Если просуммировать все V и перейти к приделу при n→∞ Составим
интегральную сумму и перейдем к пределу
при
Si(x)Δx
lim E Si(x)Δx= →0 =
|
91. Объем тела вращения
Рассмотрим криволинейную
трапецию, т.е. фигуру, образованную
прямыми
Требуется
найти объем тела вращения, образованного
вращением криволинейной трапеции
вокруг оси Объем данного тела вычисляется по формуле, содержащей определенный интеграл:
Если
криволинейная трапеция прилежит к
оси
|
92.Длинна дуги кривой Для спрямляемых кривых можно ввести понятие длины ее дуги. Длина кривой (дуги кривой) – это предел, к которому стремятся длины вписанных в эту кривую (дугу) ломаных при неограниченном увеличении числа их звеньев, когда длина наибольшего звена стремится к нулю. Для
непрерывных кривых указанный предел
– длина дуги – существует, конечный
или бесконечный; в этом случае дуга
спрямляема.
Если
плоская кривая задана в прямоугольных
декартовых координатах уравнением у = f(x),
где
a
Для
параметрически заданной
кривой х = х(t), y = y(t),
где |
93.Найдем
площадь поверхности, которая образуется
вращением кривой
вокруг
оси
,
где Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла:
Теперь
рассмотрим случай, когда вращаем
кривую
вокруг
оси
,
где В этом случае площадь определяется вычислением следующего определенного интеграла:
|
-так
вычисляется объем элементарного
цилиндра.
→0
, 
,
осью 
и
функцией 
.
.
(прямые 
, 
,
ось
и
функция 
),
тогда объем тела также определяется
по формуле, содержащей интеграл:
x
b,
ее длину можно вычислить по формуле
,
ее длину можно найти по формуле
.
