Билет 4 Действия над векторами

Сложение векторов.

Суммой двух векторов   и   является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма).

Свойства сложения.

1^о.   +   =   +   (переместительный закон).

2^о.   + (  +  ) = (  +  ) +   = (  +  ) +   (сочетательный закон).

3^о.   + (– ) +  .

Вычитание векторов.

Под разностью векторов   и  понимают вектор   =   –   такой, что   +   =  . (из конца b в конец а)

Умножение вектора на число.

Произведением вектора    на скаляр k называется вектор

= k  =  k,

имеющий длину ka, и направление, которого:

1.     совпадает с направлением вектора  , если k > 0;

2.     противоположно направлению вектора  , если k < 0;

3.     произвольно, если k = 0.

Свойства умножения вектора на число.

1^о. (k + l)  = k  + l .

k(  +  ) = k  + k .

2^o. k(l ) = (kl) .

3^o. 1  =  , (–1)   = –  , 0   =  .

Проекция вектора на ось.

Теорема 3. Проекция вектора   на ось (направленная прямая) l равна произведению длины вектора   на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е.    = a  cos ,  = ( , l).

Билет 5 Разложение вектора по базису

Линейной комбинацией векторов a1, ..., an с коэффициентами x1, ..., xn называется вектор x1a1 + ... + xnan. Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a1, ..., an, необходимо найти коэффициенты x1, ..., xn, при которых линейная комбинация векторов a1, ..., an равна вектору b, x1a1 + ... + xnan = b, при этом коэффициенты x1, ..., xn, называются координатами вектора b в базисе a1, ..., an.

Базисом векторного пространства будем называть упорядоченную систему векторов пространства, состоящую: из одного ненулевого вектора, если пространство одномерное; из двух неколлинеарных векторов, если пространство двумерное; из трех некомпланарных векторов, если пространство трехмерное.

Координатами (или компонентами) вектора a в базисе называются коэффициенты разложения вектора a по векторам базиса. Для указания, что вектор a имеет координаты , мы будем использовать запись . Очевидно, что в фиксированном базисе каждый вектор имеет свой, единственный, набор координат. Если же взять другой базис, то координаты вектора в общем случае изменятся.

Билет 6 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов  и   обозначается

где   — величина угла между векторами   и  .

СВОЙСТВА:

     

   

Применение :

   Скалярное произведение в координатах 

      Если     то   

     

Угол между векторами 

       

Работа постоянной силы

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол  с перемещением АВ= S (см.рис. 15).

Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна

А=F•S•cos   т. е.   А=(F•S).

Билет 7 Линейная зависимость и независимость векторов

Набор векторов   называется системой векторов.

Система из   векторов   называется линейно зависимой, если существуют такие числа  , не все равные нулю одновременно, что

(1.1)

Система из   векторов   называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при  , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.