79. Интегрирование по частям.

Мы используем интегрирование по частям, когда у нас либо integrate[f(x)*g(x)], либо f(x), которая просто так не интегрируется (вроде) integrate[f(x)*g(x)]=1)f(x)*G(x)-integrate[G(x)*f’(x)]

2)F(x)*g(x)- )-integrate[g’(x)*F(x)]

Какой из вариантов выбирать — неважно, главное получить решение…

Заглавные буквы обозначают первообразные (проинтегрированные функции). integrate вместо значка, dx не написан, т.к. подразумевается, что он есть.

Если есть integrate[f(x)] и нет табл. интеграла, то можно использовать интегрирование по частям для получения производной и интегрирования уже её и ещё кое-чего. Берётся G(x)=x и в итоге получаем integrate[f(x)*(G'(x), которая равна 1)]=f(x)*x-integrate[x*f'(x)]. Обычно оно тоже помагает.

81.Теорема о комплексных корнях многочлена.

Пусть x=a+i*b — комплексный корень многочлена f(x). Тогда x=a-i*b — также корень этого многочлена.

Доказательство:

f(a+i*b)=0;=>f(a+i*b)=(типа)M+i*N=0; т.к. i =/ 0, =>M=N=0;

f(a-i*b)=0;=>f(a-i*b)=M-i*N=0, и опять M=N=0, ч.т.д.

82.Простейшие дроби и их интегрирование

Простейшие дроби — правильные дроби, которые нельзя сократить.

Есть 4 типа простейших дробей (буду сразу приводить их интегрирование) (АХТУНГ: много знаков и скобок!):

1. A/(x-a)

∫A/(x-a) dx=A*∫d(x-a)/x-a=A*ln(x-a)+C

2. A/(x-a)^k

∫A/(x-a)^k dx=A*∫d(x-a)/(x-a)^k=(A/1-k)*(x-a)^-k+1+C

3. (mx+n)/(x²+px+q)

∫(mx+n)/(x²+px+q) dx=∫(mx+n)/((x+p/2)² +(q-p²/4)) dx=(x+p/2=t, dx=dt, q-p²/4=a², x=t-p/2)=∫(m*(t-p/2)+n)/(a²+t²) dt=(∫(m*t)/(a²+t²) dt+ ∫(n-m* p/2)/ (a²+t²) dt=m/2*∫1/(a²+t²) dt²+(n-m* p/2)*∫1/(a²+t²) dt= = m/2*∫1/(a²+t²) d(t²+ a²)+(n-m* p/2)*((1/a)*arctan(t/a))= (m/2)*logn(a²+t²)+ ((n-m* p/2)/a)*arctan(t/a))+C

4. (mx+n)/(x²+px+q)^k

∫(mx+n)/(x²+px+q)^k dx=∫(mx+n)/((x+p/2)² +(q-p²/4))^k dx=(x+p/2=t, dx=dt, q-p²/4=a², x=t-p/2)=∫(m*(t-p/2)+n)/(a²+t²)^k dt=(∫(m*t)/(a²+t²)^k dt+ ∫(n-m* p/2)/ (a²+t²)^k dt= m/2*∫1/(a²+t²)^k dt²+(n-m* p/2)*∫1/(a²+t²)^k dt= m/2*∫1/(a²+t²)^k d(t²+ a²)+ (n-m* p/2)*I_k=((m/(2*1-k))*(a²+t²)^1-k+(n-m* p/2)*I_k I_k=∫1/(a²+t²)^k dt=((a²+t²)^-k=u, du=-2*k*t*(a²+t²)^-k-1=dv=dt, v=t)= t/(a²+t²)^k+2*k*∫t²/(a²+t²)^k+1 dt=t/(a²+t²)^k+2*k*∫(t²+a²-a²)/(a²+t²)^k+1 dt= t/(a²+t²)^k+2*k*∫1/(a²+t²)^k dt-2*k*a²*∫1/(a²+t²)^k+1 dt; ∫1/(a²+t²)^k dt=t/(a²+t²)^k+2*k*(∫1/(a²+t²)^kdt=I_k)-2*k*a²*∫1/(a²+t²)^k+1 dt (∫1/(a²+t²)^k+1 dt=I_k+1);

I_k=t/(a²+t²)^k+2*k*I_k-2*k*a²*I_k+1;

2*k*a²*I_k+1=t/(a²+t²)^k-(2*k-1)*I_k; I_k+1=(1/(2*k*a²))*(t/(a²+t²)^k-(2*k-1)*I_k);

I₁=(1/a)*arctan(t/a)

Такое писали на лекции…

84 – интегрирование тригонометрических ф-ций

Интегрирование тригонометрических функций.

I. Интеграл вида , где R(sin(x), cos(x)) – это рациональная функция относительно sin(x) и cos(x) подстановкой tg = t сводится к интегралу от рациональной функции относительно t.

Действительно найдем.

= arctg(t);

x = 2 arctg(t); dx = ;

sin(x) = sin2 = ;

разделим числитель и знаменатель на cos² ; |tg = t|

sin(x) = ;

cos(x) = , делим на cos² ;

cos(х) = ; тогда

= = ∫ r(t) dt, где r(t) – рациональная функция

относительно t.

r(t)

Пример: Вычислить.

= | tg = t | = = =

= 2 = -2 = -2 = ;

Такая подстановка называется универсальной, т.е. она пригодна для вычислений интеграла sin(x) и cos(x).

Замечание1: часто применение универсальной подстановки приводит к громоздким вычислениям. Некоторые интегралы могут быть решены другим способом.

а) ∫ R(sin(x))cos(x) dx = | sin(x) =t; cos(x)dx = dt | = ∫ R(t) dt.

∫ R(t) dt – интеграл от рациональной функции относительно t.

б) ∫ R(cos(x))sin(x) dx = – ∫ R(t) dt;

в ) ∫ R(tg(x)) dx = | tg(x)=t; x= arctg(t); dx = dt/(1+t²)| = = ∫r(t)dt ,

r(t)

где r(t)- рациональная функция относительно t.

Пример: вычислить интеграл.

= = |sin(x) = t ; cos(x)dx=dt| = =

= _-t² +1 |t+2 =∫(2 – t –3/(t+2))dt = 2t – t²/2 – 3 ln|t+2| = 2 sin(x)-1/2sin²x –3ln|sin(x)+2|+C

- t²-2t -t+2

_ 2t+1

2t+4

-3

Замечание2: если подынтегральная функция содержит sin(x) и cos(x) в четной степени и произведение sin(x)cos(x), то целесообразней применять подстановку tg(x) = t, тогда

x = arctg(t), dx = ;

;

;

sin(x)cos(x) = ;

В результате получается рациональная функция относительно t.

Пример: = | tg(x) = t ; dx = | =

= = = = =

= = + C.

II. Интеграл вида

а)

I случай. m и n – положительные, одно из них нечетное.

Пусть m=2p+1 , тогда ∫sin^2p(x)cosⁿ(x) sin(x)dx = – ∫(sin²x) ^p cosⁿ(x) d(cos(x)) =

= – ∫(1 –cos²x) ^p cosⁿ(x) d(cos(x)).

II.случай. m и n – целые, положительные, четные.

Пусть m=2p, n=2q, тогда

∫sin^m(x)cosⁿ(x)dx = ∫sin^2p(x)cos^2q(x)dx = ∫(sin²x) ^p(cos²x) ^qdx = ;

Возводя скобки в соответствующие степени и разбивая интеграл на сумму интегралов, в результате получаем интегралы либо типа а), либо типа б).

III.случай. m + n = –2k; tg(x)=t; ctg(x)=t;

Пример1:

I.случай. ∫sin⁵(x)cos²(x)dx = ∫sin⁴(x)cos²(x)sin(x)dx = –∫(sin²x) ²cos²(x)d(cos(x)) =

= –∫(1 – cos²x) ²cos²(x)d(cos(x)) = –∫(cos²x – 2 cos⁴x + cos⁶x)d(cos(x)) = –∫cos²(x)d(cos(x)) +

+ 2 ∫cos⁴(x)d(cos(x)) –∫cos⁶(x)d(cos(x)) = – cos³(x)/3 + 2 cos⁵(x)/5 – cos⁷(x)/7 +C.

Пример2:

∫sin⁴(x)cos²(x)dx = = ∫(1 – cos2x)(1 – cos²(2x))dx =

= ∫(1 – cos2x)sin²(2x))dx = ∫sin²(2x))dx – ∫cos2x∙sin²(2x))dx = –

– ∫sin²(2x))d(sin2x) = ∫dx – ∫cos(4x)dx – sin³(2x) = x – sin(4x) –

– sin³(2x) + C.

Пример3:

= ∫sin²(x)cos^-6(x)dx = | m+n = 2-6 = 4| = =

= ∫ tg²(x)( 1+tg²(x))d(tg(x)) = ∫ tg²(x)d(tg(x)) + ∫ tg⁴(x)d(tg(x)) = tg³(x)/3 + tg⁵(x)/5 + C.

Пример4:

= = = ∫ sin^–6(x)cos^–6(x) dx = | m=-6; n=-6; m+n=-12; | = = = = = = |(1+x)ⁿ= 1 + nx +

+ | = = ∫ tg^–6x d(tg(x)) +

+ ∫ tg^–4x d(tg(x)) + ∫ tg^–2x d(tg(x)) + ∫ d(tg(x)) + ∫ tg²x d(tg(x)) +

+ ∫ tg⁴x d(tg(x)) = ( + 5 tg²(x) + tg³(x)+ tg⁵(x)) + C.