76. Исследование функций и построение их графиков

1)ищем ОДЗ. 2) Четность/нечетность: f(-x)=f(x) – четная; f(-x)=-f(x) – нечетная. 3)нули функции. 4) интервалы постоянства ф-ции. 5) интервалы монотонности f(x)>0 – возрастает; f (x)<0 –убывает. 6) Экстремумы ф-ции: x[a,b]; f(x)f(x₀), a<x₀<b -max; f(x)f(x₀) –min; Необходимое условие сущ. экстремума: f (x)=0 или не сущ. Достаточное условие сущ. экстр.: f(x) непрерывна в т.x₀ и x₀₁.

7) Использование старших производных для нахождения

экстремума: x₀f (x₀)=0 – т. назыв. критической или

стационарной и в этой точке сущ. f (x). Если первая,

отличная от нуля – производная четного порядка, то

f^(n-1)(c) > 0 – min и f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) < 0 – max. И если первая, отличная

от нуля, производная нечетного порядка, то экстремума нет.

8) Интервалы выпуклости и вогнутости прямой:

f (x)>0, x(a,b) –вогнутая; f (x)<0, x[a,b] –выпуклая; f (x₀)=0, х₀ -точка перегиба.

9 ) Находим экстремумы. Сравниваем их со значениями ф-ции на концах отрезка и выбираем из всех значений наибольшее и наименьшее.

10) Асимптоты: Вертикальные асимптоты. Выясняем,

как ведёт себя функция при приближении аргумента к

граничным точкам области определения D(f), если такие граничные точки имеются. Наклонные и горизонтальные асимптоты. Если область определения D(f) вклоючает в себя лучи вида (a;+) или (−;b), то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при x+ или x− соответственно, т.е. найти lim_xf(x).

Наклонные асимптоты: y = kx + b, где k=lim_x+f(x) и b=lim_x+(f(x)−x). Горизонтальные асимптоты: y = b, где lim_xf(x)=b.

78. Неопределенный интеграл, геометрический смысл

Интегрирование функции — нахождение первообразной данной функции.

Если F(x) — первообразная от f(x), то F(x)+С — первообразная от той же функции.

Задача интегрирования — нахождение интегральных кривых (геометрический смысл неопр. интеграла)

Интегральная кривая – это график решения дифференциального уравнения, т.е график функции, удовлетворяющей этому уравнению.

Пример 1. Решить уравнение y’=o. Его решение: f(x)=const; определено на . Отметим, что эта постоянная — произвольная, и решение — не единственное, а имеется бесконечное множество решений.

рис.1

 Более сложное уравнение, в котором производная непостоянная, имеет вид: y’=f(x,y)/Это — уравнение первого порядка, разрешенное относительно y’ (Термин «разрешенное» означает, что y’ выражается через остальные величины, в отличие от уравнения общего вида F(x,y,y’)=0, из которого выразить y’ может быть и не удастся). Это уравнение также имеет бесконечно много решений, отличающихся на константу C (см. рис. 2):

Это решение дифференциального уравнения описывается серией функций:

при С=0, y=F(x)

при С=1, y=F(x) + 1 и т.д. Таким образом, серия графиков получена параллельным переносом на константу С.

 

р

Всё, что я нашёл по поводу интегральной кривой.