71) Лемма к теореме Ферма и теорема Ферма

Лемма: Пусть f(x) определена на промежутке е и во внутренней точке x₀=е функция имеет конечную или бесконечную производную f₊ (x₀) f _- (x₀).

Тогда: если x₀ - точка локального максимума, то f₊ (x₀)  0; f _- (x₀)0; если x₀ - точка локального минимума, то f₊ (x₀)  0; f _- (x₀)  0;

В частности, если функция f имеет в x₀ производную, то f (x₀) = 0

Т еорема: Если функция f(x) имеет производную и в точке x₀ имеет экстремум, то значение производной в этой точке равно 0.

Геометрический смысл теоремы Ферма:

Существует такая точка x₀, в которой касательная параллельна оси Ox.

72) Теорема Роля

Пусть: Функция f(x) непрерывна на отрезке  :  ; Для любого x из интервала   существует производная:  ; Значения функции на концах отрезка равны:  . Тогда существует такое  , что производная  .

Доказательство: Функция непрерывна   существуют  . Если  , то функция f(x) является константой, и ее производная в любой точке равна 0, т.е. теорема доказана. Если же  , то оба значения   не могут достигаться в концевых точках, т.к.   и  . Тогда хотя бы одно из них достигается во внутренней точке c, и, по теореме Ферма .

Теорема имеет 2 следствия: 1) Пусть: Функция f(x) непрерывна на отрезке  :  Функция дифференцируема на интервале  :  ; Существуют   такие, что  .

Тогда   такие, что  .

2) Пусть: Существует функция, имеющая n производных, непрерывных на отрезке  :  ; Для любого x из интервала   существует n+1 производная:  ; Значения  .

Тогда существует такая точка  .

73) Теорема Лагранжа

Если: 1) функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a, b]; 2) f(x) имеет конечную производную f (x) на интервале (a, b), то f(b) – f(a) = (b – a)f (c), где a<c<b (формула конечных приращений).

Доказательство: пусть - непрерывная дифференцируемая функция, тогда (a)=0; (b)=0. В силу т. Ролля : (С)=0; Пусть a=x, b=x+x, значит

f(b) – f(a) = f(x). Получаем формулу Лаганжа: .

74) Теорема Коши

Если: 1) функция f(x) и g(x) определены и непрерывны на сегменте [a, b]; 2) f(x) и g(x) имеют конечные производные f(x) и g(x) на интервале (a, b) 3) f²(x) +g²(x)  0 при a<x<b; 4) g(a)  g(b), то , где a<c<b.

Доказательство: ; . По теореме Ролля  : (С)=0; . Если x = C, то получаем нужную формулу.

75) Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

Случай 1-й: раскрытие неопределенности вида . Если: 1) функции f(x) и g(x) определены и непрерывны в некоторой окрестности U точки a, где а – число или символ , и при ха обе стремятся к нулю: ; 2) производные f (x) и g (x) существуют в окрестности U точки а, за исключением, быть может, самой точки а, причем одновременно не обращаются в ноль при х  а; 3) существует конечный или бесконечный предел , то имеем . Случай 2-й: раскрытие неопределенности вида . Если: 1) функции f(x) и g(x) при ха стремится к бесконечности: , где а – число или символ ; 2) производные

f ²(x)+g(x)  0 при х є U и х  а; 3) существует конечный или бесконечный предел , то .