68) Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть сложная функция y = f(x), аргумент которой представляет собой дифференцируемую функцию x =(t), дифференцируема в некоторой точке x. Cчитаем переменную t независимой переменной. Тогда:

dy = y(t)dt.

Отсюда, используя формулу дифференцирования сложной функции

y(t) = f (x) (t), и учитывая, что (t)dt = dx , получим dy = f (x) (t)dt = f (x)dx.

Отсюда, мы видим, что формула для дифференциала функции имеет один и тот же вид

независимо от того является ли аргумент функции независимой переменной, или он в свою очередь представляет собой функцию другой переменной. В любом случае дифференциал функции равен произведению производной по ее аргументу на дифференциал данного аргумента. Это свойство дифференциала и называется инвариантностью формы первого дифференциала.

69) Производные и дифференциалы высших порядков

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на некотором интервале (a,b). Ее

дифференциал dy = f (x)dx (первый дифференциал) зависит от двух переменных: x и dx. dx принимает одно и то же фиксированное значение для всех точек x рассматриваемого интервала. Тогда дифференциал dy можно рассматривать как функцию только одной переменной x . Предположим, что функция f (x) также дифференцируема в точке x₀,

принадлежащей интервалу (a,b). При таких предположениях в указанной точке у функции dy также может существовать дифференциал.

Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) d²y функции y = f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, то есть

d²y = d(dy) .

Аналогично, дифференциалом n-го порядка (или n - м дифференциалом) dⁿy функции

y = f (x)

называется дифференциал от дифференциала (n-1) -го порядка этой функции, то есть

dⁿy = d(d^n-1 y).

Найдем выражение для d²y . По определению d²y = d(dy) = d(f (x)dx) . Так как dx не зависит от x , то есть по отношению к переменной x является постоянной величиной, то множитель dx можно вынести за знак дифференциала:

d²y = d(dy) = d(f (x)dx) = dx df (x) = dx (f (x))dx = f (x)dx².

Итак, d²y = f (x)dx². Где dx² = (dx)².

Аналогично, для дифференциала n-го порядка

dⁿy = f ⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ

70) Нарушение инвариантности формы дифференциала порядка выше первого

Возьмем простую функцию y = f(x). Ее дифференциал второго порядка будет выглядеть так: d²y = f (x)dx². Предположим, что аргумент x функции y = f(x) не есть независимая переменная, а является некоторой функцией независимого переменного t: x = (t), причем значения x не выходят из области определения f(x). Тогда существует сложная функция

y = f [(t)]. Тогда dx = f (t)dt. Выясним чему равняется d²y = ?; dy = ydx;

d²y = d(y²dx) = d(y)dx = ydx²+yd²x; d²y = ydx²+yd²x.

Сравним d²y = f (x)dx² и d²y = ydx²+yd²x. Появляется второе слагаемое. Отичие этих формул заключается в том, что для сложной функции в формуле дифференциала 2го порядка добавляется второе слагаемое, так как x функция.