65. Производная от сложной ф-ции

Пусть:

1)u = (x) имеет в точке х0 производную

u'(x0)= '(x0)

2)y=f(u)

u0 y'u=f'(u0) |y=f( x) x0

Док-во

u= (x) Δx→Δu в свою очередь u=f(u)

f'(u0 ) Δu=fu=

Производная сложной функции.

Если функция f имеет производную в точке х₀, а функция g имеет производную в точке y₀=f(x₀)y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х₀, причем  h’(x₀) = g’(f(x₀))•f’(x₀) (1)

Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx и установить, что 

при Δx→0. Введем обозначения:  Δy = f(x₀+Δx)-f(x₀)= Δf

Тогда Δh = h(х₀ + Δх) - h(x₀) = g(f(x₀ +Δx)) - g(f(x₀)) = g(y₀ + Δy) - g(y₀) = Δg.  Δy→0 при Δx→0, так как f дифференцируема в точке x₀.  Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х₀. Тогда 

при Δx→0, так как Δf/Δx→f’(x₀) при Δx→0, а Δg/Δy→g’(y₀) при Δy→0, что выполнено при Δx→0.

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке  , а функция g имеет производную в точке  , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке  .

66. Логарифмическое дифферинцирование

Пусть имеется y'=?

=

Производная от неявнозаданой ф-ции

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

67) Дифференциал функции, его связь с производной.

Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка X , называется дифференцируемой на этом промежутке.

Понятие дифференциала функции

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x₀, то есть ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента x , может быть представлено в виде

y = f (x₀)x+(x)x ,

где (x) — это бесконечно малая функция при x0 .

В этой формуле (x)x — это бесконечно малая при x0 более высокого порядка, чем x . Поскольку f (x₀)x при x0 является бесконечно малой того же порядка, что и x , то f (x₀)x — это главная часть приращения функции.

Главная линейная часть приращения функции f (x₀)x называется дифференциалом функции в точке x₀, соответствующим приращению аргумента x , и обозначается символом dy или df (x₀), то есть dy = f (x₀)x.

Под дифференциалом независимой переменной x можно понимать любое, не зависящее от x, число. Обычно берут это число равным приращению x независимой переменной:

dx = x . Отсюда имеем: dy = f (x₀)dx. Из данного выражения следует, что производная функции y = f(x) равна отношению дифференциала функции dy к дифференциалу аргумента dx.