61. Сравнение бесконечно малых функций

     Для определения бесконечно малых и бесконечно больших функций воспользуемся, так называемым сравнением функций. Пусть у нас есть две функции p(x) и q(x), которые стремятся к А при аргументе x стремящемся к А. И будем рассматривать предел их отношения при аргументе x, стремящемся к некоторому числу A. Тогда возможны следующие варианты:

1)   , т.е. предел отношения функций существует и он равен нулю, в этом случае говорят, что p(x) бесконечно малая функция более высокого порядка и принято обозначать p(x) = 0(q(x)) (это цифра 0).

2)   , т.е. предел отношения функций существует и он равен С - некоторой константе, в этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно малые функции одного порядка и принято обозначать p(x) = O(q(x)) (это буква О).

3) Если данный предел:   не существует, в этом случае мы ничего не можем сказать о сравниваемых функциях и поэтому говорят, что функции не сравнимы.

4)  , т.е. предел отношения функций существует и он равен бесконечности, в этом случае говорят, что q(x) бесконечно малая функция более высокого порядка и принято обозначать q(x) = o(p(x)) (это буква о).

5) , то бесконечно малые функции p(x) и q(x) называются эквивалентными и обозначаются p(x)~q(x).

62. Основные теоремы о пределах

1. Алгебраическая сумма конечного числа пределов= пределу суммы этих пределов

Док-во

u(x)+ (x)=z(x) x →a(x → ∞)

u(x)=b1+ (x); v(x)=b2+ (x);

z(x)=b1+ (x)+b2+ (x)=

=(b1+b2)+( (x)+ (x));

z(x)=C+ (x);

,но

2. Предел произведения равен произведению пределов

Док-во

рассмотрим 2 ф-ции

u(x)=b1+ v(x)=b2+

u*v = b1*b2+(b1 +b2 + )

, но b1 и b2-пределы, следовательно

3. Предел частного 2ух функций = частному пределов этих ф-ций

доказывается так же как 2

4.Теорема о 2-х милиционерах

Если u(x)≤z(x)≤v(x)

то

Док-во

для u(x): >0; ∃ 1

|u(x)-b|< (2) |x-a|< 1

v(x): >0; ∃ 2

|v(x)-b|< (1) |x-a|< 2

из чисел 1 и 2 выбирается меньшее, где выполняется 1 и 2

b- <u(x)<b+ ;b- <v(x)<b+ ;

т.к. z(x) находится между u(x) и v(x), то оно будет удовлетворятся 2мя неравенствами

b- <z(x)<b+ ;

63. Эквивалентные бесконечно малые и их свойства Определение

Если  , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными (α~β).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При   справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

• ;

• ;

• ;

• ;

• , где   >0;

• ;

• , где  > 0;

• ;

• ;

• поэтому используют выражение:

, где .

Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов.

64.Производная ф-ции.Геометрическая интерпритация

Пусть некоторое тело совершает равномерное прямолинейное движение. И за некторое время t это тело прошло некоторое расстояние S.

Vc=приращение пути по времени

Vср=ΔS/Δt Δt→ΔS S=f(t)

Мгновенная скорость V=

y=f(x) производная y'=

производная предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

Геометрический смысл производной

Пусть задана некоторая кривая,

.

прямую.

Касательная это предельное положения секущей при движении точки по кривой к точке касания

проведем секущую, двигаем

Геометрический смысл заключается в том что ' это тангенс угла наклона касательной с положительным направлением оси х.

Если функция   имеет конечную производную в точке   то в окрестности   её можно приблизить линейной функцией

Функция   называется касательной к   в точке   Число   является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.