55 (Первая теорема Больцано-Коши)

Если функция непрерывна на I и в 2 его точках a иb принимает значения разных знаков, то по крайней мере в одной точке c между a и b функция обращается в нуль, т.е. f(c)=0

Геометрический смысл: График непрерывной на промежутке и принимающей в двух точках этого промежутка значения разных знаков пересекает ось абсцисс по крайней мере в одной точке.

f(a)<0,f(b)>0,f(c)=0

В теореме лишь утверждается существование нуля функции такой точки c, гдеf(c)=0, но не показывает метода нахождения точки.

Доказательство: опирается на теорему Кантора и следствие. Разделим отрезок [a;b] точкой 2a+b на 2 равных отрезка, если f(2a+b)=0 , то теорема доказана и с=2a+b, если же f(2a+b)/=0 , то на концах по крайней мере одного из частичных отрезков функция f принимает значения разных знаков.

Обозначим этот сегмент через [a1;b1]. Сегмент [a1;b1] разбиваем точкой c=2a1+b1на две равные части. Если f(2a1+b1)=0 , то теорема доказана и с=2a1+b1, если же f(2a1+b1)/=0 , то обозначим через [a2;b2] тот частичный сегмент на концах которого функция принимает значения разных знаков. И т.д.

Продолжив этот процесс либо при некотором k∈N  будем иметь f(2ak+bk)=0  и тогда теорема доказана (здесь с=2ak+bk), либо ни при каких k∈N  условие f(2ak+bk)=0  не выполнится.

56. Вторая теорема больцано-коши

Если f непрерывна на I и в двух его точках a иbf(a)=A>B=f(b), то для всякой точки C∈[B,A]  между точками a и b найдется хотя бы одна точкаc, чтоf(c)=C.

Доказательство: Основано на первой теореме Больцано-Коши.

Рассмотрим вспомогательную функцию φ(x)=f(x)−C  она непрерывна на I (как разница 2 непрерывных функций) и т.к.B0, ϕ(b)=f(b)−C=B−C<0 , тогда по теореме между a и b найдется точка с, такая что f(c)=ϕ(c)−C=0 , т.е. f(c)=C. ч.т.д.

 

Геометрический смысл этой теоремы: всякая прямаяy=C, где B<C<A, пересечет график функции f по крайней мере в одной точке. Замечание. Если f - непрерывна и непостоянна на I, то образом этого промежутка I при отображении f будет также промежуток (т.е. непрерывным образ f(I)промежутка I есть промежуток). В самом деле, по теореме из того, что B,A∈E(f) следует, что интервал (B;A)⊂E(f) , т.е. E(f)⊂f(I) - промежуток.

57. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении функции

Если f непрерывна на [a, b], то она достигает на нем своей верхней и нижней грани.

Доказательство от супротивного . Пусть или же

M - конечное число. Допустим, что f(x) < M при всех x є [a, b], т.е. верхняя грань не достигается. Тогда рассмотрим вспомогательную функцию ; ;

Так как знаменатель в ноль не обращается, то ϕ будет непрерывной на [a, b] функцией, а значит, по теореме Вейерштрасса об ограниченности функции, она будет ограничена на[a, b]: , где є R, > 0. Но отсюда находим, что

, , для всех x є [a,b],

т.е. число оказывается верхней границей для f, чего быть не может, ибо М есть наименьшая из верхних границ. Полученное противоречие доказывает, что в [a,b] находится точка такая, что . Аналогично доказывается утверждение о достигаемости нижней грани.