48 (Частичный предел)

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо ее подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность имеющая предел. Очевидно, что только определенная точка множества элементов подпоследовательности может быть ее частичным пределом, а также обратное (для доказательства будем брать n = 1/n и, выбирая в каждой -окрестности предельной точки член последовательности, построим таким образом сходящуюся к этой точке подпоследовательность)

Нижним пределом последовательности (обозначается   или  ) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним пределом (  или  ) — наибольший элемент.

Не во всяком множестве существуют наибольший или наименьший элемент; примером может служить интервал  . Однако утверждается, что у ограниченной последовательности верхний и нижний пределы существуют.

Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано — Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности не пусто. Пусть   — верхняя грань множества  частичных пределов. Тогда заметим, что  , а это означает, что в любой окрестности точки   находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого  , мы можем сказать, что в любой окрестности точки   содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку  ). Значит,   по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

Последовательность   сходится к   тогда и только тогда, когда  , так как получается, что   — единственная предельная точка множества элементов последовательности

50 Второй замечательный предел

 или 

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений x

  Докажем вначале теорему для случая последовательности 

По формуле бинома Ньютона: 

Полагая  , получим:

       (1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число   убывает, поэтому величины   возрастают. Поэтому последовательность   — возрастающая, при этом

      (2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

.

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

.

Поэтому        (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом   выполняются неравенства (2) и (3):    .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность  монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.   

   Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что  . Рассмотрим два случая:

1. Пусть  . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:  , где   — это целая часть x.

Отсюда следует:  , поэтому

.

Если  , то  . Поэтому, согласно пределу  , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов  .

2. Пусть  . Сделаем подстановку − x = t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что   для вещественного x.