16. Система nxn имеет вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁,

….........................................

a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n = b_n.

(система)

A(a_{i j}) – квадратная порядка n.

Δ = detA — определитель системы.

Δ_j — определитель, полученный из Δ заменой j-того столбца столбцом свободных членов.

Правило Крамера. Если Δ≠0, то система nxn имеет единственное решение, которое можно найти по формулам: x_j = Δ_j / Δ

17. (А|в) — расширенная матрица системы линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли. Линейная система совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен рангу её расширенной матрицы, т.е. r(A) = r(Ᾱ).

Неизвестные с номерами столбцов базисного минора называются базисными неизвестными, а остальные неизвестные — неизвестные, которым придают числовые значения, - свободными неизвестными.

Решение, которое было получено, - общее решение системы — совокупность всех решений.

Условие существования ненулевого решения однородной системы:

1) mxn: Однородная система mxn имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг меньше количества переменных (r<n)

2) nxn: Однородная система nxn имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда Δ = 0.

Уровни в, с.

1. Линейным пространством называется множество L векторов a, b, c..., на котором определены две операции (называемые линейными):

1) сложение. Для всяких двух векторов a, b принадлежащих L определен вектор a+b принадлежащий L и называемый их суммой;

2) умножение на число. Для любого вектора a принадлежащего L и любого числа λ принадлежащего R определён вектора λa принадлежащий L и называемый произведением вектора a на число λ.

Базис (в линейном пространстве L) — упорядоченная система векторов e₁, e₂, …, e_n , если она линейно независима и всякий вектор (из L) может быть разложен по этим векторам.

Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами этого вектора в этом базисе.

Пусть n принадлежит N. Линейное пространство L называют n-мерным, если в нём есть базис из n векторов, при этом число n называют его размерностью, и пишут dimL=n. Линейное пространство L={0} называют нульмерным и пишут dimL=0. Все эти пространства называются конечномерными. Линейное пространство, не являющееся конечномерным, называется бесконечномерным.

2. Размерность линейного пространства решений олс. Линейное пространство решений олс n-r — мерно.

Всякий базис линейного пространства решений олс называется фундаментальной системой этой олс.

Структура общего решения однородной линейной системы: x = C₁E₁+...+C_{n - r} E_{n – r} , где E₁,...,E_{n – r} – фундаментальная система решений, а С₁,...,С_{n – r} – произвольные постоянные.

3. Отображение А линейного пространства L в себя называется линейным оператором (действующем на L), если:

1) A(x+y) = Ax + Ay (x,y принадлежат L)

2) A(λx) = λAx (x принадлежит L, λ принадлежит R)

y = Ax – образ вектора x.

Матрица, по столбцам которой стоят координаты образов базисных векторов в данном базисе, называется матрицей линейного оператора в этом базисе.

4. Ненулевой вектор x принадлежащий L называется собственным вектором линейного оператора A, если существует число λ принадлежащее R такое, что Ax = λx.

При этом λ называется собственным значением линейного оператора A, соответствующим собственному вектору x (а x – собственный вектор, соответствующий значению λ).

Множество всех собственных значений линейного оператора А называется его спектром.

Для того, чтобы матрица линейного оператора в данном базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов этого оператора. При этом на её главной диагонали стоят собственные значения этого оператора.

Многочлен det(A-λE) называется характеристическим многочленом линейного оператора А (а также матрицы А), а уравнение det(A-λE)=0 — характеристическим уравнением линейного оператора А (а также его матрицы).

Теорема о нахождении собственных значений и собственных векторов линейного оператора:

1)Все собственные значения линейного оператора А — это все действительные корни его характеристического многочлена.

2) Все собственные векторы линейного оператора А — это все ненулевые решения однородной линейной системы с матрицей А- λE.