Уровень а.

1. Уравнение F(x,y)=0 называется неявным уравнением данной линии на плоскости (x,y), если эта линия есть множество всех точек этой плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Параметрическое уравнение линии: x = φ(t) , y = φ(t) (система)

Неявное уравнение окружности: x²+y² = a²

Параметрическое уравнение окружности: x= r*cosφ, y= r*sinφ (система)

2. Свободным вектором называется направленный отрезок.

Линейные операции над векторами:

• сложение. Правило треугольника и правило параллелограмма. OA+AB=OB; OA+OB=OC

• вычитание. A-B = A+(-B)

• умножение вектора на число. λ*A; |λ*A|=|λ|*|A|; λ*A – то же направление, если λ>0, противоположное, если λ<0

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. (Лемма 1. Если вектор A≠0, то любой коллинеарный ему вектор B получается из вектора А умножением на число, т.е. B=λ*A, где λ определено однозначно).

Векторы называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях. (Лемма 2. Если векторы A и B не компланарны, то любой компланарный с ними вектор C может быть разложен по этим векторам: C = λ*A+μ*B, причем единственным образом).

Лемма 3. Если векторы A, B и C некомпланарны, то любой вектор D (в пространстве) может быть разложен по этим векторам: D=λ*A+μ*B+ν*C, причем единственным образом.

Базисом в пространстве называется любая тройка некомпланарных векторов.

Базисом на плоскости называется любая двойка неколлинеарных векторов.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор этой прямой.

Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в этом базисе. Координаты вектора в базисе определены однозначно.

Линейные операции в координатной форме:

• (x₁, y₁,z₁) + (x₂, y₂ z₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)

• λ(x, y, z) = (λx, λy, λz)

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором (или ортом).

Базис называется ортонормированным, если он состоит из попарно перпендикулярных единичных векторов.

Координаты вектора в базисе i,j,k называются прямоугольными координатами вектора.

3. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число A*B=|A|*|B|*cosφ. (Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение равно нулю).

Условие ортогональности двух векторов: два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (ортогональность=перпендикулярность), при этом A≠0, B≠0.

Скалярное произведение в координатной форме: если A=(x_1, y_1, z₁), B=(x_2, y_2, z₂), то A*B= x₁*x₂+y₁*y₂+z₁*z₂

4. Векторным произведением двух неколлинеарных вектором называется вектор AxB такой, что:

1) его длина |AxB|=|A|*|B|*sinφ=S параллелограмма, построенного на векторах A и B

2) его направление определяется двумя условиями: а) он перпендикулярен каждому из векторов A,B; б) тройка A,B,AxB — правая.

Векторное произведение двух коллинеарных векторов полагается равным 0.

Векторное произведение двух векторов в координатной форме: определитель матрицы, где первая строка — i, j, k, вторая — x_1, y₁, z₁, третья — x_2, y_2, z₂.

5. Смешанным произведением трёх векторов A,B,C называется число ABC такое, что ABC=(AxB)*C.

Условие компланарности трёх векторов: Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл модуля и знака смешанного произведения:

1) модуль смешанного произведения трёх некомпланарных векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

2) если ABC>0, то тройка A,B,C – правая. Если ABC<0, то тройка A,B,C – левая.

Смешанное произведение в координатной форме: Если A=(x_1, y_1, z₁), B=(x_2, y_2, z₂), C=(x_3, y_3, z₃), то ABC = определитель матрицы, где 1я строка — x₁ y₁ z₁, 2я строка - x₂ y₂ z₂, 3я строка - x₃ y₃ z_3.