1. Теоретическая часть

1.1 Дискретная случайная величина

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые не могут быть учтены заранее.

Случайные величины принято делить на дискретные и непрерывные. В данной курсовой работе будут рассмотрены только дискретные случайные величины.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон распределения задается в виде таблицы 1:

Таблица 1. Закон распределения

X	x1	x2	...	xn
P	p1	p2	...	pn

К числу важнейших числовых характеристик дискретной случайной величины относятся математической ожидание, дисперсия, средне-квадратичное отклонение, начальные и центральные моменты.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Если случайная величина Х задана законом распределения, представленном в таблице 1, то ее математическое ожидание определяется равенством:

.

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то

,

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части сходится абсолютно. Вероятностный смысл математического ожидания — оно приближенно равно (тем точнее, чем больше количество испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины:

Для определения дисперсии случайной величины необходимо ввести понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Пусть Х — случайная величина и — ее математическое ожидание. Рассмотрим теперь в качестве новой случайной величины разность .

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Приведем важное свойство отклонения: . Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие — отрицательны. В результате их взаимного сокращения среднее значение отклонения равно нулю. Поэтому целесообразно заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или квадратами. В случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что иногда приводит к затруднениями. Поэтому чаще всего вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться другой формулой:

.

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится средне-квадратичное отклонение.

Средне-квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

.

Так как средне-квадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность совпадает с размерностью Х.

Моменты вводятся для более подробной характеристики случайной величины. Моменты подразделяются на начальные и центральные.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины X^k:

.

В частности,

, .

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии можно записать так:

.

Кроме моментов случайной величины Х целесообразно рассматривать моменты отклонения .

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины :

.

В частности,

, .