Аналитическая геометрия.
Блок задач на построение уравнений прямых на плоскости.
Задача. Построить уравнение прямой по 2 точкам А(1,2) и В(6,9).
Ответ.
.
Задача. Найти уравнение средней
линии треугольника с вершинами
,
,
,
проходящей параллельно стороне AC.
Ответ.
.
Задача. Найти уравнение средней линии треугольника
, , параллельно стороне AB.
Ответ.
.
Блок задач на поиск пересечений прямых в плоскости.
Задача. Найти точку пересечения
двух прямых
и
.
Ответ. Точка пересечения (1,2).
Задача. При каком значении параметра А три прямых
,
,
пересекаются
в одной точке? Ответ.
.
Блок задач на поиск расстояний.
Задача. Найти расстояние от точки
(1,4)
до прямой
.
Ответ.
.
Задача 7. Найти 2 точки на оси Ох,
отстоящие от прямой
на расстояние
.
Ответ. (-3,0) и (5,0).
Задача 8. Найти расстояние между
параллельными прямыми
и
.
Ответ.
.
Уравнение плоскости в пространстве.
Задача. Построить уравнение плоскости по точке (2,2,8) и перпендикуляру (3,3,7).
Ответ.
.
Задача. Построить уравнение плоскости
по точке
и двум направляющим векторам
(4,2,3)
и
.
Ответ.
.
Задача. Построить уравнение
плоскости, проходящей через (0,0,0)
параллельно 2 направляющим (1,1,2) и (2,1,3).
Ответ.
.
Задача. Построить уравнение плоскости
по трём точкам. А(1,2,3), В(3,5,7), С(4,5,6). Ответ.
.
Задача. Найти расстояние от точки
M0 (1,3,5) до плоскости
.
Ответ.
.
Задача. Найти расстояние от точки
M0 (7,15,22) до плоскости
.
Ответ.
.
Задача. Даны точки
,
,
.
Вывести уравнение прямой, содержащей А1В1, и найти расстояние от точки С1 до этой прямой (то есть высоту треугольника).
Ответ. Прямая
,
расстояние 3.
Задача 3. Найти угол между двумя
плоскостями:
и
.
Ответ.
.
Прямая в пространстве
Задача. Построить уравнение прямой
в пространстве (каноническое,
параметрическое) по точке
и
направляющему
.
Ответ.
,
Задача. Построить уравнение прямой,
лежащей в пересечении двух плоскостей
и
.
Ответ.
,
.
Задача. Доказать, что прямая
пересекает ось
и найти точку пересечения.
Ответ. (0,0,1).
Задача. Найти угол между прямой
и плоскостью
.
Ответ.
.
Задача. Найти параметрические и
канонические уравнения прямой,
перпендикулярной к плоскости треугольника
с вершинами
,
,
и проходящей через вершину А.
Ответ. Канонические
,
параметрические
.
Задача. Доказать, что две прямые в пространстве
и
пересекаются, и найти точку пересечения.
Ответ. точка пересечения (1,1,2).
Задача 11. Доказать, что две прямые в пространстве:
и
скрещивающиеся, и найти расстояние
между ними. Ответ.
.
Задача. Доказать, что прямые
и
пересекаются и найти точку. Ответ.
(3,7,-6).
Задача. Вычислить расстояние от
точки (4,4,-2) до прямой
в пространстве. Ответ.
.
Задача. Даны три точки А(1,1,1),В(2,2,3),С(2,1,2). Вывести уравнение прямой, содержащей АВ, и найти расстояние от точки С
до этой прямой (высота треугольника
АВС). Ответ.
.
Задача. Найти точку пересечения
плоскости
и прямой
.
Ответ. Точка пересечения
.
Задача. Через точку
и ось Ох проходит одна плоскость, через
эту же точку и ось Оу вторая. Найти
косинус тупого угла между этими
плоскостями. Ответ.
Задача. Заданы 2 прямые в пространстве, одна - своими параметрическими уравнениями, а другая как пересечение пары плоскостей:
и
.
Доказать, что эти прямые параллельны, и найти уравнение плоскости, содержащей их. Ответ. Плоскость .
Задача. Доказать, что кривая
является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси.
Ответ. Центр
,
полуоси
и
.
Задача. Доказать, что кривая
является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси, построить чертёж.
Ответ. Центр
,
полуоси 1 и 3.
Задача. Доказать, что однополостный
гиперболоид
содержит прямолинейные образующие.
Задача. Доказать, что кривая
является эллипсом, найти каноническое
уравнение, центр и полуоси.
Ответ. Центр (3,-1), полуоси 3 и .
«Введение в математический анализ. Множества и функции»
Задача. Точка движется по окружности единичного радиуса вокруг начала координат в плоскости. Температура распределена по закону:
.
Найти для этой точки функцию, как меняется
температура в зависимости от времени.
Ответ. Температура в зависимости
от времени для этой точки изменяется
так:
.
Задача. Найти область определения функции:
.
Ответ.
.
Задача. Найти область определения функции:
.
Ответ. Кольцо
.
Задача. Найти область определения функции 3 переменных:
.
Ответ. Шар радиуса 1:
.
Тема «Предел последовательности»
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ. 3.
Задача. Найти предел
.
Ответ. 1.
Задача. Найти предел
.
Ответ. 2.
Тема: Пределы функций.
Задача. Найти предел
.
Ответ. 0.
Задача. Найти предел
. Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ. 27.
Задача. Найти предел
.
Ответ. 2.
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ. 4
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Тема «1-й замечательный предел».
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ. 5.
Задача. Найти предел
.
Ответ. 24.
Задача. Найти предел
.
Ответ. 2.
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ. 1.
Задача. Найти предел
.
Ответ. 6.
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Тема «2-й замечательный предел»
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ. 2.
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Задача. Найти предел
.
Ответ.
.
Главная часть бесконечно-малой.
Задача. Найти главную часть для
в точке
т.е. вида
.
Ответ.
.
Задача. Выделить главную часть
бесконечно-малой
в точке
.
Ответ.
.
Задача. Выделить главную часть
бесконечно-малой:
в точке
.
Ответ.
.
Непрерывность и точки разрыва.
Задача. Найти точки разрыва и
определить их тип
.
Ответ.
разыв 2 рода,
разрыв 1 рода.
Задача. Найти точки разрыва и
установить их тип для функции
.
Ответ.
и 3 разрывы 1 рода.
Задача. Исследовать тип точки
для функции
.
Ответ.
разрыв 1 рода.
Задача. Найти точки разрыва и
определить их тип для функции:
.
Ответ.
разрыв 2 рода,
точка непрерывности,
разрыв 1 рода.
Задача. Доказать, что для
двойной предел не существует.
Задача. Найти предел . Ответ. .
Задача. Найти предел . Ответ. .
Задача. Вычислить предел
.
Ответ. 5.
Дифф. исчисление
Задача. С помощью определения
доказать, что
.
Задача. Вычислить производную от
функции
.
Ответ.
.
Задача. Найти производную от
.
Ответ.
.
Задача. Найти производную функции
.
Ответ.
.
Задача. Найти вторую производную
.
Ответ.
.
Задача. Найти производную от
.
Ответ.
.
Задача. Найти производную вектор-функции
.
Ответ.
.
Задача. Найти 1-ю и 2-ю производную
для
.
Найти
.
Ответ.
,
,
=2.
Задача. Найти 1-ю и 2-ю производную
для
.
Ответ.
Задача. Дана функция
.
Найти
,
.
Ответ.
.
.
Задача.
найти
,
.
Ответ.
,
.
Задача. Найти 2-ю производную для
.
Ответ.
.
Тема «Частные производные, градиент».
Задача. Дана функция
.
Найти координаты вектора
в точке
.
Ответ.
.
Задача. Дана функция
.
Найти
в точке
.
Ответ.
.
Задача. Дана функция . Найти:
а) координаты вектора
в точке
,
б)
в точке
в направлении вектора
.
Ответ.
=
,
=
4.
Задача. Дана функция
.
Найти:
а) координаты вектора
в точке
б)
в точке
в направлении вектора
.
Ответ.
,
=
.
Задача. Дана функция
.
Найти:
а) координаты вектора
в точке
;
б)
в точке
в направлении вектора
.
Ответ.
,
= 0.
Задача. Найти градиент функции
в точке (2,2) и производную по направлению
a = (3,4).
Ответ. Градиент
,
= 81,6.
Задача. Найти градиент функции
в точке (1,1) и производную по направлению
(1,3).
Ответ.
,
=
.
Тема «Уравнение касательной».
Задача. Найти уравнение касательной
к кривой
в точке
.
Ответ.
.
Задача. Найти касательную к графику
в точке с абсциссой 2 и расстояние от
этой прямой до начала координат.
Ответ. Касательная
,
расстояние
.
Задача. Найти касательную к графику
функции
в точке
.
Ответ. Уравнение касательной
.
Задача. Найти уравнение касательной
к графику
в точке
и площадь треугольника, который она
отсекает от одной из координатных
четвертей.
Ответ. Касательная
,
площадь треугольника
.
Задача. На графике функции
взята точка
.
Касательная к графику в точке
наклонена к оси
под углом, тангенс которого равен
.
Найти точку
.
Ответ. Точка
.
Задача. Найти точки на графике
,
такие, что касательная, проведённая в
них, проходит через начало координат.
Ответ.
и
.
Задача. Найти касательную плоскость
к поверхности
в точке (1,1,2). Ответ.
.
Задача. Найти касательную к неявно
заданной кривой
в точке
.
Ответ.
.
Тема «Формула Тейлора».
Задача. Вывести формулу Тейлора для
функции
в точке
.
Ответ.
Задача. Вывести формулу Тейлора
для
в точке
.
Ответ.
Задача. Вывести формулу Тейлора
для
в точке
.
Ответ.
Серия задач, где разложение получается с помощью геометрической прогрессии.
Задача. Разложить в степенной ряд
в окрестности
.
Ответ.
.
Задача. Разложить в степенной ряд
в окрестности
.
Ответ.
=
Задача. Разложить в степенной ряд в окрестности .
Ответ.
.
Задача. Найти
для функции
.
Ответ.
.
Экстремумы.
Задача. Найти интервалы монотонности
и экстремумы функции
.
Ответ.
возрастание,
убывание,
возрастание.
максимум,
минимум.
Задача. Найти экстремумы функции
и разность между ординатами максимума
и минимума.
Ответ.
максимум,
минимум. Разность ординат 108.
Задача. Найти интервалы монотонности
и экстремумы функции
.
Ответ.
и
рост,
убывание.
максимум,
минимум.
Задача. Найти интервалы монотонности
и экстремумы функции
.
Ответ.
и
убывание,
и
рост,
минимумы,
максимум.
Наибольшее и наименьшее значение на отрезке.
Задача. Дана функция
.
Найти её наибольшее и наименьшее значение
на отрезке
.
Ответ. Наибольшее
,
наименьшее
.
Задача. Дана функция
.
Найти её наибольшее и наименьшее значение
на отрезке
.
Ответ. Наименьшее:
,
наибольшее:
.
Задача. Найти наибольшее и наименьшее
значение функции
на отрезке [0,5].
Ответ. Наибольшее
,
наименьшее
.
Задача 8. Найти экстремум функции 2
переменных:
.
Ответ. Точка (1,3) минимум.