13. Дайте означення середнього квадратичного відхилення вв.

Середнє квадратичне відхилення (позначається літерою s) є квадратним коренем із дисперсії.

Якщо від випадкової величини віднімемо її математичне сподівання, то дістанемо центровану випадкову величину, математичне сподівання якої дорівнює нулю. Ділення випадкової величини на її середнє квадратичне відхилення називається норму­ванням цієї випадкової величини.

Середнє лінійне відхилення – величина іменована і визначається за формулами:

а) середнє лінійне відхилення просте

б) середнє лінійне відхилення зважене

14. Дайте означення та перелічите основні властивості математичного сподівання вв.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини , яка набуває значень із скінченної множини чисел , називається число

яке дорівнює сумі добутків значень випадкової величини на відповідні ймовірності.

М атематичним сподіванням неперервної випадкової величини , яка має щільність розподілу , називається число

Математичне сподівання випадкової величини має такі властивості.

1.Математичне сподівання сталої випадкової величини дорівнює цій величині.(Мс = с, де с = const).

2.Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань. (M(X + Y) = MX + MY).

3.Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань. (M(X × Y)=MX × MY).

4.Сталу величину можна виносити за знак математичного сподівання. (M(сX) = сMX, де с = const).

5.Математичне сподівання відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання дорівнює нулеві. (М(Х – МХ) = 0).

15. Дайте означення функції розподілу вв.

Ф ункцією розподілу ймовірностей довільної випадкової величини або просто функцією розподілу величини називається функція, яка представляє розподіл величини : значення цієї функції в точці   дорівнює ймовірності того, що випадкова величина набуває значення менше :

Оскільки функція розподілу являє собою ймовірність, вона повинназадовольняти основним аксіомам теорії ймовірностей і мати властивості, притаманні ймовірностям. Але ця функція залежить від можливих значень випадкової величини , і тому повинна в загальному вигляді визначатися для всіх значень . Таким чином, вимога, щоб функція розподілу являла собою ймовірність, накладає на її властивості певні обмеження.

Основні властивості функції розподілу  довільної випадкової величини :

1)  ,  ;

2)  ,  ( ,  )

3) Функція не зменшується при зростанні (неспадна, тобто  , якщо  .)

4)  .

Відзначимо ще одну властивість функції  :

5) Якщо  , то

,

тобто стрибок функції в довільній точці  збігається з ймовірністю події   .

16. Дайте означення функції щільності ймовірності неперервної вв.

Для неперервних випадкових величин поряд із законом розподілу ймовірностей розглядають густину (щільність) імовірностей, яку позначають так f(x). Щільністю розподілу ймовірності неперервної випадкової величини називається функція f(x), що є першою похідною від інтегральної функції розподілу ймовірності F(x) f (x) = F ′(x).

звідки диференціал

Оскільки приріст визначають залежністю

то добуток щільності ймовірностей на приріст випадкової величини f(x)dx відповідає ймовірність того, що випадкова величина X міститиметься у проміжку [x; x+dx], де dx це приріст .

Геометрично на графіку щільності ймовірностей f(x)dx відповідає площа прямокутника з основою dx і висотою f(x)

Щільність розподілу f(x) неперервної випадкової величини успадковує усі властивості інтегральної функції розподілу F(x).

Властивості щільності розподілу:

Властивість 1. Інтеграл у нескінченних границях від щільності розподілу

дорівнює одиниці (умова нормування) f (x )dx = 1 .

Властивість 2. Щільність розподілу – функція невід’ємна f (x) ≥ 0 .

Оскільки її первісна F(x) є неспадною функцією.

Властивість 3.Імовірність попадання неперервної випадкової величини в проміжок [а,b) визначається залежністю 4. Функція розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини визначається через щільність розподілу ймовірностей інтегруванням