54. Як визначається і для чого використовується коефіцієнт кореляції?

Для оцінки лінійного кореляційного зв'язку між двома ознаками, що виміряні в метричних шкалах, часто використовують коефіцієнт кореляції Пірсона (його ще називають коефіцієнтом добутку моментів).

Коефіцієнт кореляції є відносною мірою зв'язку між двома факторами і завжди приймає значення в інтервалі . Додатне значення коефіцієнта кореляції свідчить про прямий зв'язок між , (зі зростанням однієї ВВ зростає середнє значення іншої), від’ємне – про зворотний зв'язок (зі зростанням однієї ВВ середнє значення іншої убуває). Якщо 1 – зв'язок тісний, якщо 0 – лінійного зв'язку немає.

Коефіцієнт кореляції Пірсона оцінює зв'язок між двома ознаками, лише припускаючи, що значення однієї ознаки пов'язані з відповідними середніми іншої ознаки лінійною залежністю, тобто оцінює лише лінійний за формою кореляційний зв'язок.

55. Як визначаються інтервали довіри для параметрів , теоретичної лінійної регресії?

Для того, щоб виявити, як теоретичні параметри , зв'язані з їх оцінками , , необхідно визначити довірчі інтервали для параметрів теоретичної лінійної регресійної моделі, тобто такі інтервали, у які з заданою ймовірністю попадають їхні значення. Інтервали довіри для параметрів , теоретичної регресії: визначаються за формулами:

, (5)

де , – граничні відхилення параметрів , .

56. Як за результатами вибірки визначаються: вибіркове середнє, вибіркова дисперсія, вибіркове середнє квадратичне відхилення?

Означення.Вибірковою середньою або вибірковою зваженою середньоарифметичноюназивають середню арифметичну варіант вибірки із урахуванням їх частостей і позначають

, де - об’єм вибірки, - кількість різних варіант,  - частоти варіант ( ). Аналогічно визначаєтьсягенеральна середня або генеральна зважена середньоарифметичнаіз заміною об’єму вибірки на - об’єм генеральної сукупності і позначається . Вибіркова середня є аналогом математичного сподівання і використовується дуже часто. Вона може приймати різні числові значення при різних вибірках однакового об’єму. Тому можна розглядати розподіли вибіркової середньої та числові характеристики цього розподілу. Неважко довести, що:

Теорема. Вибіркова середня є незсунутою, ефективною та обгрунтованою точковою оцінкою для генеральної середньої. Іншими словами, вибіркова середня є статистикою, яка задовольняє всі умови точкового оцінювання, для параметра – генеральної середньої кількісної ознаки.

Означення.Вибірковою дисперсією називають середню (зважену) квадратів відхилення варіант від вибіркової середньої:

. Зауважимо, що для спрощення обчислення вибіркової дисперсії можна застосовувати формулу:  .

Означення.Вибірковим середньоквадратичним відхиленням (стандартом) називають квадратний корінь із вибіркової дисперсії . Можна показати,що: Вибіркова дисперсія  є ефективною, обгрунтованою, але ЗСУНУТОЮ точковою оцінкою для генеральної дисперсії .

Зауваження. Вибіркова дисперсія дає занижені оцінки для генеральної дисперсії, але . Тому вибіркову дисперсію виправляють так, щоб вона стала незсунутою оцінкою. А саме, вводять так званувиправлену вибіркову дисперсію

. Очевидно, що при достатньо великих об’ємах вибірки (  ) вибіркова дисперсія та виправлена вибіркова дисперсія різняться дуже мало, тому в практичних задачах виправлені вибіркові дисперсію та стандарт використовують лише при об’ємах вибірок .