8. Математические модели управляющих устройств

8.1. Математические модель гидроусилителя

Составление математической модели рассмотрим на примере гидравлического усилителя, схема которого приведена на рис. 8.4. Гидравлический усилитель с золотником, нагруженным пружинами, состоит из ступени в виде сопла-заслонки и ступени в виде золотникового распределителя. Гидроусилитель включает золотник 1, пружины, нерегулируемые дроссели 3, заслонку 4 и сопела.

Гидравлический усилитель работает следующим образом. Отклонение заслонки 4 от нейтрального положения вызывает изменение расходов через сопла и перепад давлений в полостях А и Б, необходимый для управления золотником 1.

Для обеспечения пропорциональной зависимости перемещений золотника от перемещений заслонки применены пружины 2. Усилие этих пружин при смещении золотника от нейтрального положения уравновешивают силы давлений, приложенные к нему со стороны жидкости в полостях А и Б.

Составим математическое описание гидроусилителя. Зависимость расхода жидкости Q_у, обеспечивающего перемещение золотника, от отклонения h_у заслонки от нейтрального положения и разности давлений p_у в полостях А и Б примем линейной:

, (8.1)

где К_Q.h и К_Q.p – коэффициенты расхода, можно определить экспериментально.

С другой стороны, расход связан с перемещением золотника:

, (8.2)

где – площадь торца золотника; d – диаметр золотника; x – перемещение золотника; V_у – объем каждой из полостей А и Б; B_ж – модуль объемной упругости жидкости. Второе слагаемое в правой части уравнения (8.2) учитывает изменение объема жидкости, обусловленное её сжимаемостью.

Уравнения (8.1)–(8.2) можно заменить одним уравнением в форме “вход-выход”; приняв за входную величину φ_Я, а за выходную – p_у, получим

(8.3)

Разделив все члены уравнения (8.3) на К_Q.p, получим его стандартную форму:

, (8.4)

где Т_гу1 и Т_гу2 – постоянные времени гидроусилителя; К_φ.h – коэффициент преобразования перемещения h_y заслонки в разность давлений p_у. Постоянные времени гидроусилителя и коэффициент преобразования определяются по соотношениям:

, (8.5)

, (8.6)

. (8.7)

Уравнение движения золотника под действием разности давлений в полостях А и Б ( ) можно записать в виде

, (8.8)

где F_гд2 – гидродинамическая сила, действующая на золотник со стороны жидкости, протекающей через распределитель; F_тр – сила трения; F_пр – сила, действующая на торцы золотника со стороны пружин; m – масса золотника.

Гидродинамическую силу F_гд2 будем считать линейной зависимостью от смещения золотника и определять по формуле

, (8.9)

где – коэффициент жесткости гидродинамической пружины (гидродинамическая сила имеет линейную зависимость аналогично силе пружины отсюда и название коэффициента).

Силу трения будем считать вызванной жидкостным трением и определять по формуле

, (8.10)

где k_тр – коэффициент трения.

Силу от действия пружин на торцы золотника будем определять по формуле

, (8.11)

где с_ПР – жесткость каждой из пружин.

Подставив в уравнение (8.8) выражения для сил, определяемых соотношениями (8.9)–(8.11), и преобразовав его к форме “вход-выход”, получим:

. (8.12)

Разделив все члены уравнения (8.12) на коэффициент при выходной величине x, получим:

, (8.13)

где Т_гу3 – постоянная времени гидроусилителя; ζ_гу – коэффициент относительного демпфирования гидроусилителя; К_φ.p – коэффициент преобразования разности давления p_у в перемещение золотника x.

Постоянная времени гидроусилителя, коэффициент относительного демпфирования и коэффициент преобразования определяются по соотношениям:

; (8.14)

; (8.15)

. (8.16)

Уравнения (8.4) и (8.13) с учетом соотношений (8.5)–(8.7) и (8.14)–(8.16) составляют математическую модель гидравлического усилителя.

При исследовании процессов, протекающих в системах, с помощью ЭВМ и пакетов прикладных программ, основанные на численных методах математическое описание удобнее выполнять в переменных состояния и системы уравнений приводить к дифференциальным уравнениям первого порядка, записанным в форме Коши.

Дифференциальное уравнение (8.13) второго порядка заменим системой двух уравнений первого порядка

, (8.17)

, (8.18)

где υ – скорость перемещения золотника.

Уравнение (8.4) с учетом формулы (8.17) можно записать в виде

. (8.19)

Полученную систему уравнение приведем к форме Коши:

(8.20)