7. Нелинейные математические модели

Одним из примеров нелинейной системы может служить гидравлический механизм, состоящий из золотникового гидрораспределителя и нагруженного гидроцилиндра (рис. 7.3). Составим математическое описание гидравлического механизма, предполагая, что питание его рабочей жидкостью осуществляется при постоянном давлении (p_П = const) от источника с неограниченным расходом. Гидролинии от золотникового распределителя к гидроцилиндру будем принимать настолько короткими, чтобы в них можно было бы не учитывать потери давления и волновые процессы.

Для гидрораспределителя, когда окна распределителя имеют равные коэффициенты расхода, при нулевых перекрытиях золотника, без учета утечек и перетечек рабочей жидкости в распределителе, можно записать два уравнения расходов:

; (7.14)

, (7.15)

где Q₁ – расход рабочей жидкости, втекающей в гидроцилиндр; Q₂ – расход рабочей жидкости, вытекающей из гидроцилиндра; _З – коэффициент расхода окон золотникового распределителя; b_ОК – ширина окон во втулке (если окно, расположенное напротив бурта золотника, занимает весь периметр втулки, то b_ОК = d_З; x_З – смещение золотника от нейтрального положения; p_П – давление питания в напорной гидролинии; p_СЛ – давление в сливной гидролинии; p₁ и p₂ – давления в левой и правой полостях гидроцилиндра;  – плотность жидкости.

Для гидроцилиндра можно записать уравнение движения поршня и уравнения расходов (втекающего и вытекающего):

; (7.16)

; (7.17)

, (7.18)

где S – рабочие площади поршня (т.е. площадь поршня минус площадь штока) в левой и правой полостях гидроцилиндра; F_ТР – сила трения, действующая на поршень и шток; F – внешняя нагрузка; m_ПР – суммарная масса поршня, штока и приведенной массы рабочих органов, приводимых в движение штоком; y_ШТ – перемещение штока.

Силу вязкого трения будем определять по соотношению

. (7.19)

Внешнюю нагрузку будем определять по соотношению

. (7.20)

где c_н – коэффициент нагрузки; y – перемещение поршня.

С учетом соотношений (7.19) и (7.20) уравнение (7.16) примет вид

. (7.21)

Система уравнений (7.14)–(7.15), (7.17)–(7.18) и (7.21) является нелинейной математической моделью рассматриваемого гидравлического механизма, потому что содержит нелинейные функции (7.14) и (7.15).

При исследовании процессов, протекающих в системах, с помощью нелинейных математических моделей часто приходится применять ЭВМ и пакеты прикладных программ, основанные на численных методах. В этом случае математическое описание удобнее выполнять в переменных состояния и системы уравнений приводить к дифференциальным уравнениям первого порядка, записанным в форме Коши.

Для примера выполним математическое описание процессов, протекающих в гидравлической системе (рис. 7.3) в переменных состояния.

Введем обозначение

, (7.22)

где υ – скорость поршня и массы m, так как y – перемещение поршня.

С учетом формулы (7.22) система уравнений (7.14)–(7.15), (7.17)–(7.18) и (7.21) примет вид

. (7.23)

В качестве переменных состояний примем y, υ, p₁ и p₂. Подставим в третье уравнение системы (5.48) выражения для расходов Q₁, Q₂ и Q₃ из четвёртого, пятого и шестого уравнений, затем члены, содержащие производные от переменных состояний, перенесём в левые части уравнений, в результате получим систему дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши:

.