Нелинейная математическая модель
В качестве примера приведем описание простой гидравлической системы, схема которой показана на рис. 5.2. Система состоит из распределителя 1 с постоянным гидравлическим сопротивлением, регулируемого дросселя 2 с золотником 6, гидроцилиндра 3 с поршнем 4 и штоком 5, массы m. Сопротивлением гидролиний будем пренебрегать. В этом случае давление после распределителя 1, перед регулируемым дросселем и в гидроцилиндре будет одинаковым (p2). На поршень с одной стороны действует сила давления жидкости, а с другой – сила тяжести mg. Поршень находится в равновесии, когда эти силы равны. Изменяя гидравлическое сопротивление регулируемого дросселя перемещением золотника, можно изменять давление p2 и скорость подъема массы m. Это приводит к нарушению равновесия сил, действующих на поршень, и к его перемещению.
Масса m с помощью штока жестко связана с поршнем, поэтому при перемещении поршня будет перемещаться и масса m.
Гидравлическое сопротивление регулируемого дросселя можно изменять за счет изменения его проходного сечения. Таким образом, изменяя проходное сечение регулируемого дросселя 2, перемещением x золотника, можно управлять положением y массы m (рис. 5.2).
Будем считать давление p1 перед распределителем и давление p3 после дросселя постоянными, причем p1 > p3.
При показанных на схеме направлениях течения жидкости с расходами Q1, Q2 и Q3 можно записать:
,
(5.9)
,
(5.10)
,
(5.11)
где μ1 – коэффициент расхода распределителя; f1 – площадь поперечного сечения канала распределителя; μ2 – коэффициент расхода регулируемого дросселя; d – диаметр золотника регулируемого дросселя; k – коэффициент, зависящий от конструктивного исполнения устройства. Коэффициенты расхода μ1 и μ2 будем считать постоянными.
На основании неразрывности течения, с учетом сжимаемости жидкости в гидроцилиндре можно записать:
,
(5.12)
где S – площадь поршня; y – перемещение поршня (массы m); W0 – объем рабочей полости гидроцилиндра и подводящей гидролинии, соответствующий положению поршня при y = 0; EЖ – модуль объемной упругости жидкости.
На поршень действуют сила давления, сила тяжести и сила вязкого трения. Уравнение движения поршня можно записать в виде
,
(5.13)
где Fтр – сила вязкого трения между поршнем и цилиндром.
Силу вязкого трения будем определять по соотношению
.
(5.14)
С учетом соотношения (5.14) уравнение (5.13) примет вид
.
(5.15)
Система уравнений (5.9)–(5.12) и (5.15) представляет собой нелинейную математическую модель рассматриваемой гидравлической системы, потому что содержит нелинейные функции (5.10) и (5.11).
При исследовании процессов, протекающих в системах, с помощью нелинейных математических моделей часто приходится применять ЭВМ и пакеты прикладных программ, основанные на численных методах. В этом случае математическое описание удобнее выполнять в переменных состояния и системы уравнений приводить к дифференциальным уравнениям первого порядка, записанным в форме Коши.
Для примера выполним математическое описание процессов, протекающих в гидравлической системе (рис. 5.2) в переменных состояния.
Введем обозначение
,
(5.47)
где υ – скорость поршня и массы m, так как y – перемещение поршня.
С учетом формулы (5.47) система уравнений (5.9)–(5.12) и (5.15) примет вид
.
(5.48)
В качестве переменных состояний примем y, p2 и υ. Подставим в третье уравнение системы (5.48) выражения для расходов Q1, Q2 и Q3 из четвёртого, пятого и шестого уравнений, затем члены, содержащие производные от переменных состояний, перенесём в левые части уравнений, в результате получим систему дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши:
.
(5.49)
При заданных начальных условиях, т. е. при заданных значениях переменных состояний в начальный момент времени t0:
;
(5.50)
;
(5.51)
(5.52)
и известном входном воздействии – перемещении золотника x для все t > t0, т. е.
,
(5.53)
можно найти зависимости y(t), υ(t) и p2(t) для всех t > t0.
Результаты численных расчетов математической модели (5.49) в MathCAD приведены на рис. 5.3–5.5.
y(t)
t
Рис. 5.3. Зависимость перемещения поршня от времени
Из графика (рис. 5.3) можно определить вид переходного процесса (движения поршня), время переходного процесса, количество колебаний, динамическую ошибку и другие параметры переходного процесса.
υ(t)
t
Рис. 5.4. Зависимость скорости поршня от времени
p2(t)
t
Рис. 5.5. Зависимость давления в полости гидроцилиндра от времени
Зависимости, приведенные на рис. 5.4 и 5.5, позволяют проанализировать характер изменения скорости поршня и колебаний давления в полости гидроцилиндра.