Основные характеристики нечетких множеств

1. Носитель (основание) нечеткого множества.

Носителем (основанием) нечеткого множества A называется обычное множество Аs, которое cодержит те и только те элементы универсума, для которых значения функции принадлежности соответствующего нечеткого множества отличны от нуля. Математически носитель нечеткого множества определяется следующим условием:

А_s = Supp A = {xX| µ_A(x) > 0}

• Очевидно, пустое нечеткое множество имеет пустой носитель, поскольку µ_Ø (x) = 0 для любого его элемента.

• Носитель универсума, рассматриваемого как нечеткое множество, совпадает с самим универсумом.

Для удобства и сокращения записи произвольного нечеткого множества часто указывают лишь значения его функции принадлежности для элементов носителя, неявно предполагая, что все остальные значения функции принадлежности равны нулю.

В зависимости от количества элементов в нечетком множестве, по аналогии с обычными множествами можно определить конечные и бесконечные нечеткие множества.

Конечные нечеткие множества (пример 1 и 2)

Нечеткое множество называется конечным, если его носитель является конечным множеством.

Бесконечные нечеткие множества (пример 3)

Бесконечные нечеткие множества – такие нечеткие множества, носитель которых не является конечным множеством.

При этом счетным нечетким множеством будем называть нечеткое множество со счетным носителем.

Несчетным нечетким множеством будем называть нечеткое множество с несчетным носителем.

2. Высота нечеткого множества:

При hgh A = 1, нечеткое множество называют нормализованным или нормальным.

При hgh A < 1, говорят о субнормальном множестве.

3. Ядро (это четкое подмножество универсального множества, для всех элементов которого функция принадлежности равна единице).

core A = {x  X | µ_A(x) = 1}

4. Точка перехода

сrossover_point = {xX | µ_A(x) =0,5}

5. -срез

_cut А = {xX | µ_A(x)  }

6. Нечеткое множество А называется выпуклым если:

 x₁, x₂  Х : x₁  x₂ справедливо:

µ_A(ƛ x₁+ (1- ƛ) x₂)  min {µ_A(x₁), µ_A(x₂)}, где ƛ[0, 1].

Существует следующее свойство:

Нечеткое множество будет выпуклым, если все его ɑ-сечения ‒ выпуклые множества.

7. Нечеткое разбиение.

Определение:

Если Аj (j= ) – выпуклые нечеткие множества; hgh Aj = 1 (нормализованные нечеткие множества); Аj содержит не более 2-х пересечений с другими нечеткими подмножествами, то {Aj} – нечеткое разбиение.

 (x)

8. Частный случай 1 (нечеткое число).

Если для нечеткого множества A выполняются условия:

1. нечеткое множество А – выпуклое

2. нечеткое множество А – нормализованное

3. функция принадлежности является кусочно-непрерывной функцией

4. ядро нечеткого множества A содержит одну точку.

тогда нечеткое множество A называют нечетким числом.

В терминах лингвистической переменной - «Приблизительно 5».

9. Частный случай 1 (нечеткий интервал).

Если выполняются условия 1, 2, 3, но не выполняется условие 4 из предыдущего частного случая.

В терминах лингвистической переменной - «Приблизительно от 2 до 7».

Нечеткие множества могут быть заданы двумя основными способами:

1. В форме списка с явным перечислением всех элементов и соответствующих им

значений функции принадлежности. При этом элементы с нулевыми значениями функции принадлежности просто не указываются в данном списке.

Этот способ подходит для задания нечетких множеств с конечным дискретным носителем и небольшим числом элементов.

Например, возьмем в качестве универсума Х = {1,2,3,...} ‒ множество натуральных чисел. Тогда нечеткое множество А, представляющее "небольшое натуральное число", можно задать следующим образом:

А = {(1, 1.0), (2, 1.0), (3, 0.9), (4, 0.7), (5, 0.2)}.

При этом элементы, для которых µ(х) = 0, отсутствуют в этом списке.

2. Аналитически в форме математического выражения для соответствующей функции принадлежности.

Этот способ может быть использован для задания произвольных нечетких множеств как с конечным, так и с бесконечным носителем.

В этом случае нечеткое множество удобно записывать в виде:

,

где µA(х) ‒ некоторая функция, заданная аналитически в форме математического выражения или графически в форме некоторой кривой.

Рассмотрим некоторые конкретные примеры нечетких множеств.

Предположим, необходимо построить некоторое нечеткое множество, которое содержательно описывало бы выходные (нерабочие) дни обычной пятидневной рабочей недели.

В терминологии классических множеств ситуация тривиальная, а именно, дни недели с понедельника по пятницу являются рабочими, а суббота и воскресенье — выходными. Здесь рабочие дни считаются без учета особенностей трудозатрат.

Таким образом, обычное (не нечеткое) множество выходных дней А состоит из двух элементов: А = {суббота, воскресенье).

Что же касается определения соответствующего нечеткого множества A, попытаемся субъективно оценить степень нашего эмоционального отношения к различным дням недели, рассматривая их с точки зрения выходных и психологии возможного отдыха. Для большинства из нас ситуация уже не будет казаться столь простой.

Что касается дней с понедельника по четверг, то отношение к ним как к рабочим дням вряд ли изменится. А вот пятница, особенно ее вечер, для многих ассоциируется с полноценным отдыхом и высокой степенью положительных эмоций. Суббота является безусловно выходным днем, в течение которого могут быть забыты все служебные заботы, особенно в субботу вечером. А вот что касается воскресенья, то ближе к вечеру ситуация меняется — нередко на ум приходит мысль: "Завтра нужно рано вставать и приступать к работе", и настроение уже нельзя считать столь безоблачным.

Таким образом, рассматриваемое нечеткое множество A, описывающее выходные дни недели, может быть задано, например, в виде:

A = { <пятница, 0.5>, <суббота, 1.0>, <воскресенье, 0.8>}.

Здесь в качестве универсума выступают дни недели: Х = {Пн, Вт, Ср, Чт, Пт, Сб, Вс}, а функция принадлежности задается перечислением своих значений. При этом, чем ближе ее значение к 1, тем больше соответствует тот или иной день недели нашему отношению к нему как к выходному дню.

Попробуем представить это нечеткое множество графически. Границы данного нечеткого множества не являются четко очерченными. Однако, помня, что каждое нечеткое множество вполне определяется своей функцией принадлежности, изобразим графически функцию принадлежности этого нечеткого множества. Для этого на горизонтальной оси отметим отдельные значения элементов универсума (в нашем случае ‒ элементы множества X), а на вертикальной оси ‒ значения соответствующей функции принадлежности µ (х).

Продолжим рассмотрение примера с целью его расширения на случай бесконечного нечеткого множества.

Поскольку наше отношение к выходным дням недели может изменяться в течение времени суток, а горизонтальная ось может быть преобразована в непрерывную ось времени, то функция принадлежности нечеткого множества А может быть задана в форме некоторой кривой. Один из вариантов такой функции можно представить следующим рисунком: