Метавысказывания

В дополнение к возможности определять с помощью концептуальных графов отношения между понятиями предметной области, выраженные в одном высказывании, хотелось бы уметь выражать отношения между высказываниями. Рассмотрим, например, предложение: «Коля предполагает, что Катя любит пиццу». Здесь «предполагает» является отношением, которое использует высказывание «Катя любит пиццу» в качестве одного из аргументов. Все предложение целиком является высказыванием о высказывании (метавысказыванием).

В формализме концептуальных графов выделяется особый класс понятий под названием «утверждение» (proposition). Содержанием понятия «утверждение» является один или несколько концептуальных графов, что и позволяет определять метавысказывания. Визуально «утверждение» выражается в виде прямоугольника, внутри которого располагаются другие концептуальные графы. Далее приведем граф иллюстрирующий рассмотренное ранее метавысказывание.

Здесь отношение experiencer (кто-то испытывает что-то) отдаленно напоминает отношение agent, которое связывает субъект действия с глаголом, и используется для обозначения состояний убежденности.

В данном случае иллюстрируется возможность использования понятия «утверждение» для выражения модальности знания и убеждений. При этом различным высказываниям можно назначать разную степень нашей уверенности в их истинности: полная уверенность в истинности, истинность возможна, является необязательным результатом действия, маловероятна и.т.п.

Связь концептуальных графов и логики

С использованием введенных понятий мы можем легко выразить с помощью концептуальных графов логическую конъюнкцию понятий, например: «Собака большая и голодная». Однако у нас все еще нет возможности для выражения отрицания и дизъюнкции, а также определения квантификации логических переменных.

Отрицание может быть выражено с использованием понятия «утверждение» и унарной операции neg (отрицание). Операция neg принимает в качестве аргумента понятие «утверждение» и утверждает, что оно ложно. Рассмотрим концептуальный граф, выражающий утверждение : «Не существует розовых собак» (“there are no pink dogs”).

Используя отрицание и конъюнкцию понятий мы можем в соответствии с правилами логики определять с помощью концептуальных графов и дизъюнкцию понятий. Причем с целью упрощения структуры графа можно ввести особое отношение or (или), которое принимает в качестве аргументов два утверждения и обозначает их дизъюнкцию.

Установлено, что формализм концептуальных графов по выразительной мощности эквивалентен исчислению предикатов. Также мы можем представить любой концептуальный граф в виде формулы исчисления предикатов, несмотря на то, что специфические операции над графами (такие как join, restrict) не являются частью теории исчисления предикатов.

Теория нечетких множеств (fuzzy set theory)

В естественном языке довольно часто можно встретить такие фразы как "хороший автомобиль", "устойчивая валюта", "неважное самочувствие", "трудный день".

Для формального представления таких знаний американский математик, профессор информатики в Университете в Беркли (Калифорния) Лотфи А.Заде (Иран) предложил в 1965 году формальный аппарат нечеткой (fuzzy) логики. 

Теория нечеткой логики в математическом смысле является строго формализованной и представляет собой раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств.

Нечеткое множество отличается от обычного множества тем, что для всех или части его элементов не существует однозначного ответа на вопрос: "Принадлежит или не принадлежит тот или иной элемент рассматриваемому нечеткому множеству?"

Для построения нечетких моделей систем само понятие нечеткого множества следует определить более строго, чтобы исключить неоднозначность толкования тех или иных его свойств.

Математическое определение нечеткого множества

Нечеткое множество А определяется как совокупность упорядоченных пар вида: (х, µ (х)), где х является элементом некоторого универсального множества (универсума) X, а µ (x) — функция принадлежности, которая ставит в соответствие каждому из элементов х некоторое действительное число из интервала [0,1].

Иными словами функция принадлежности определяется в форме отображения:

µ (x) : X [0,1] (2.1)

При этом значение m(х) = 1 для некоторого элемента х из Х означает, что элемент x определенно принадлежит нечеткому множеству А, а значение µ (x) = 0 означает, что элемент x определенно не принадлежит нечеткому множеству A.

Формально конечное нечеткое множество можно записать в виде:

A = {<x1, µ (x₁)>, <x2, µ (x₂)>,..., <x_n, µ (х_n)>}.

Из всех нечетких множеств выделим два частных случая, которые, по сути, совпадают со своими классическими аналогами и используются в дальнейшем при определении других понятий.

Пустое нечеткое множество. Множество, которое не содержит ни одного элемента, обозначается через Ø и формально определяется как такое нечеткое множество, функция принадлежности которого тождественно равна нулю для всех без исключения элементов: µ_Ø (x) = 0, x ϵ X.

В этой связи уместно упомянуть о том, что характеристическая функция обычного пустого множества также тождественно равна нулю для любых элементов.

Универсум. Что касается другого специального множества, то так называемый универсум, обозначаемый через U, является обычным множеством, содержащим все возможные элементы.

Формально удобно считать, что функция принадлежности универсума как нечеткого множества тождественно равна единице для всех без исключения элементов: µ_U (x) = 1, x ϵ X.

Для того чтобы определить конечные и бесконечные нечеткие множества, необходимо ввести в рассмотрение одно из основных понятий, которое используется для характеристики произвольного нечеткого множества, а именно — понятие носителя нечеткого множества.