Впорядкована структура
Аксіоматика афінної геометрії може бути побудована з аксіом впорядкованої геометрії шляхом додавання двох додаткових аксіом:
(Афінна аксіома паралельності) дана точка A і пряма r, яка не проходить через точку А, існує не більше однієї прямої, яка проходить через точку А, що не задовольняє прямій r.
(Теорема Дезарга) дано сім різних точок A, A', B, B', C, C', O, таких що AA', BB', та CC' відмінні прямі, які проходять через точку O та AB паралельна A'B' та BC паралельна B'C', тоді AC паралельна A'C'.
Афінне поняття паралельності утворює відношення еквівалентності для прямих. Так як аксіоми впорядкованої геометрії, представленої тут, включають в себе властивості, які передбачають структуру дійсних чисел, ці властивості переносяться, так що це аксіоматизація афінної геометрії над полем дійсних чисел.
Афінні перетворення
Геометрично, афінне перетворення (спорідненості) зберігаєколінеарність : так воно перетворить паралельні прямі в паралельні прямі і збереже відношення відстаней уздовж паралельних прямих.
Ми визначаємо, як афінну теорему будь-який геометричний результат, який інваріантний щодо афінної групи (в Ерлангенській програмі Фелікса Кляйна, це його основна група перетворень симетрії для афінної геометрії).Розглянемо в лінійному просторі V, загальну лінійну групу GL(V).Це не вся афінна група, тому що ми повинні дозволити також перетворення вектора v із V. (Подібне перетворення карти будь-якого w із V в w + v.) Афінна група породженна загальною лінійною групою, а перетворення і справді їх напівпрямий добуток {\displaystyle V\rtimes \mathrm {GL} (V)}.
Наприклад, теореми з планіметрії про збіг прямих в трикутнику, що з'єднують кожну вершину з серединою протилежної сторони (у центр ваги або барицентр) залежать від поняття медіани і центра ваги як афінних інваріантів. Інші приклади теорем Чеви і Менелая.
Афінні інваріанти також можуть допомогти в обчисленні. Наприклад, прямі, які ділять площину трикутника на дві рівні частини, утворюють обгортку всередині трикутника. Відношення площі обгортки до площі трикутника є афінним інваріантом, і тому необхідно обчислювати простий випадок, такий як, одиничний рівнобедрений прямокутний трикутник дає {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},} тобто 0.019860... або менше, ніж 2%, для всих трикутників. Знайомі формули, такі як: половина добутку основи на висоту - площа трикутника, або одна треття частина основи на висоту - об'єм піраміди , також афінні інваріанти. Остання є менш очевидною, ніж перша, в загальному випадку легко бачити, для однієї шостої частини одиничного куба, утвореного гранью (площа 1) і середньою точкою куба (висота 1/2). Отже, вона вірна для всих пірамід, навіть для косих, вершина яких знаходиться не прямо над центром основи, і з основою паралелограм замість квадрата. Формула надалі узагальнюється на піраміди, основа яких може бути поділена на паралелограми, дозволяючи нескінченно багато паралелограмів (з урахуванням конвергенції). Такий же підхід показує, що чотиривимірна піраміда має об'єм 4D - одна чверть добутку 3D-об'єму основи її паралелепіпеда на висоту, і так далі для більш високих розмірностей.