2.2. Геометрична інтерпретація задач оптимізації

Розглянемо геометричну інтерпретацію загальної задачі оптимізації.

Кожен набір чисельних значень змінних х₁, х₂,..., х_n можна інтерпретувати як точку в n-мірному просторі. Так, точка r в n-мірному просторі описується сукупністю речових чисел х_1r, х_2r,..., х_nr рівних проекції радіус-вектора, проведеного з початку координат у точку r, на координатні осі простору х₁, х₂,..., х_n, (випадок тривимірного простору зображений на рис. 2.1). Цій точці відповідає цілком певне значення цільової функції F (х₁, х₂,..., х_n), а саме:

W

x₃

_r=f(x_1r,x_2r,……x_nr)

x₂

x₁

x_3r

x_1r

x_2r

r

Рис. 2.1

Якщо з’єднати всі точки n-мірного простору, в якому значення цільової функції одно W_r, то отримаємо поверхню рівного рівня W_r. Цільова функція W = F (х₁, х₂,..., х_n) описує безліч гіперповерхонь рівного рівня, кожна з яких відповідає цілком певному значенню F.

Обмеження (2.2) і (2.3) виділяють частину n-мірного простору, де існують припустимі рішення. Умови вказують, що допустимі рішення знаходяться в області невід’ємних координат, тобто в першому просторовому квадранті. Кожній функції обмежень G_i (х₁, х₂,..., х_n) ставиться у відповідність гіперповерхня рівного рівня, що задається рівнянням

. (2.4)

Ця гіперповерхня ділить весь n-мірний простір на дві частини: в одній з них для будь-якої точки r (х_1r,х_2r,..., х_nr) буде виконуватися умова

_{, (2.5)}

а в іншій

_.

Гіперповерхні обмежень виду (2.4), перетинаючись, утворюють в n-мір­ному просторі сферичний багатогранник, який виділяє область допустимих рішень. У цю область входить частина простору першого квадранта, яка по відношенню до всіх гіперповерхонь (2.4) одночасно розташовується з того боку, де виконується умова (2.5). Сюди ж включається та частка гіперповерхні (2.4) і гіперплощини , що є кордоном області допустимих рішень.

Геометричний смисл оптимізації проілюструємо рис. 2.2 для двовимірного випадку, коли гіперповерхні вироджуються в лінії.

Рис. 2.2

У площині Х₁ 0 Х₂ нанесені лінії рівного рівня цільової функції F (х₁, х₂) і функції обмежень G_i (х₁, х₂) (i = 1, 2, 3).

Умови

_{, ,}

виділяють область I можливих рішень — область OABQCD.

Припустимо, що відшукується мінімум функції F (х₁,х₂), і з видаленням лінії її рівного рівня від початку координат вона спадає, т. е. W₁>W₂>… >W₄. Тоді, очевидно, найменше можливе значення цільової функції F (х₁, х₂) знаходитиметься на кордоні області I в точці Q.

Таким чином, загальна логіка оптимізації полягає в тому, що, надаючи цільової функції W = F (х₁, х₂,..., х_n) значення W₁>W₂>W₃... (якщо відшукується мінімум F), отримують сімейство гіперповерхонь рівного рівня, оптимальне рішення визначається точкою (або точками), яка знаходиться в області допустимих рішень (тобто належить геометричному тілу, описуваному обмеженнями) і в той же час лежить на гіперповерхні рівного рівня з найменшим значенням цільової функції.

Завдання пошуку оптимуму має ряд особливостей, пов’язаних з тим, що екстремум цільової функції може досягатися як всередині багатогранника обмежень, так і на його межі (рис. 2.3).

Рис. 2.3