7. Задачі вибору маршруту (сітьові задачі на транспорті)

Умови: Проїзд з м. А до м. Б можливий декількома маршрутами з різними проміжними пунктами. Вартість проїзду і витрати часу залежить від вибраного маршруту.

Задача: визначити найбільш економічний маршрут за обраним критерієм оптимальності (найбільш швидкий, найбільш короткий, найбільш дешевий).

Найбільшого поширення набули: задача вибору найкоротшої відстані між довільними пунктами мережі, задача комівояжера, задача про максимальний потік.

8. Комбіновані задачі

Включають кілька типових задач одночасно.

Приклад: при плануванні та управлінні виробництвом потрібно:

— визначити обсяги випуску виробів кожного виду (задача планування);

— розподілити замовлення по видах обладнання (задача розподілу);

— визначити послідовність виконання замовлень (задача впорядкування).

Рішення: одержують оптимальне рішення задачі планування виробництва, далі знаходять найкращий розподіл обладнання, на основі якого складають оптимальний графік робіт.

Питання для самоперевірки

1. Дати означення дослідження операцій як науки.

2. Що являється предметом і метою дослідження операції?

3. В чому полягає основна задача дослідження операцій?

4. Яка основна методологія дослідження операцій? Навести приклади.

5. Які математичні методи і моделі використовуються для знаходження оптимального рішення?

6. Назвати і охарактеризувати типові класи задач дослідження операцій.

7. Визначити структурні елементи задачі дослідження операцій.

8. Сформулювати основну та допоміжні задачі дослідження операцій.

9. Дати визначення операції, оптимального, субоптимального рішення.

10. Як оцінюють ефективність операції?

11. Навести конкретні формулювання мети задачі дослідження операцій.

12. Як оцінити операцію за кількома показниками?

13. Сформулювати загальну постановку задачі оптимізації рішення (оберненої до задачі дослідження операцій).

14. Які методи математичного програмування використовуються для знаходження оптимального рішення?

15. Описати основні етапи операційного дослідження.

16. Що таке формалізація задачі?

17. Що таке адекватність моделі? Представити логічну схему перевірки на адекватність.

18. Які існують застереження щодо застосування методів дослідження операцій?

II. Класифікація методів оптимізації

Знаходження найкращих способів дій в різних галузях людської діяльності являє собою досить складний процес прийняття рішень, що вимагає винахідливості, знань, досвіду. Розвиток науки призвів до створення багатьох методів і теорій, які допомагають людині відшукувати оптимальні рішення, тут основним методом є оптимізація.

Під оптимізацією розуміється знаходження максимального чи мінімального значення показника ефективності в області допустимих значень параметрів досліджуваного явища або операції. Процес оптимізації є одним з етапів процесу формалізації задач.

2.1. Математичне формулювання загальної задачі оптимізації

Будь-яка задача, в якій відшукується максимум або мінімум числової функції (або функціоналу), відноситься до задачі оптимізації. Ці завдання завжди виникають при математичному описі бойових дій, в яких потрібно поставлену мету досягнення з найменшими витратами матеріальних ресурсів і мінімальними людськими втратами або, навпаки, при обмежених витратах сил і засобів добитися найбільшого стратегічного або тактичного ефекту.

Загальна задача оптимізації формулюється наступним чином: потрібно знайти невід’ємні значення n змінних

,

які максимізують або мінімізують цільову функцію

(2.1)

і задовольняють m нерівностей виду

. (2.2)

Функції F и G_i можуть бути неперервними, диференційованими.

Величини m і n між собою не пов’язані, так що m може бути більше, менше або дорівнює n. Зокрема, m може дорівнювати і нулю, що відповідає випадку відсутності обмежень.

Вимога невід’ємності змінних х₁, х₂,..., х_n, як правило, випливає з їх фізичного сенсу. Ця умова формально може бути записана у вигляді нерівностей

. (2.3)

Крім того, на змінні x_j часто з тих же фізичних міркувань накладаються додаткові обмеження, але яким частину або всі змінні повинні приймати лише деякі дискретні, наприклад рівні цілим числам, значення.

У деяких випадках змінні x_j виявляються шуканими функціями одного або декількох відомих параметрів. Тоді завдання полягає у визначенні функцій х₁, х₂,..., х_n, оптимізують вираз (2.1) за умов (2.2) і можливо деяких додаткових обмеженнях на функції x_j. Вираз (2.1) у цьому випадку називають функціоналом, так як він встановлює відповідність між безліччю функцій х₁ і безліччю чисел W.

Змінні х₁, х₂,..., х_n представляють шукані значення параметрів, які чисельно описують способи організації операції у складеній математичної моделі. Цільова функція W = F (х₁, х₂,..., х_n) відображає математичну залежність, існуючу між показником ефективності W і параметрами операції. Умови (2.2) і (2.3) називаються обмеженнями. Вони показують, яким математичним співвідношенням повинен задовольняти шуканий набір значень параметрів х₁, х₂,..., х_n.

Сукупність певних значень змінних х₁, х₂,..., х_n, наприклад числа х₁⁽⁰⁾, х₂⁽⁰⁾,..., х_n⁽⁰⁾ для яких виконуються умови (2.2) і (2.3), називають допустимим рішенням. Безліч всіх допустимих рішень утворює область допустимих рішень задачі оптимізації.

Оптимальним рішенням (або рішенням задачі оптимізації) є таке допустиме рішення, при якому цільова функція (2.1) приймає максимальне або мінімальне значення (в залежності від характеру завдання). Процес рішення задачі оптимізації складається з двох частин: по-перше, визначається область допустимих рішень, і по-друге, в цій області відшукується оптимальне рішення.