1.4. Багатокритеріальні задачі дослідження операцій

Незважаючи на ряд істотних труднощів, пов’язаних з невизначеністю, ми до цих пір розглядали тільки найпростіші випадки, коли зрозумілий критерій, за яким здійснюється оцінка ефективності, і потрібно звести до максимуму (мінімуму) один-єдиний показник W. На жаль, на практиці такі завдання, де критерій оцінки однозначно диктується цільовою спрямованістю операції, зустрічаються не так вже й часто — переважно при розгляді невеликих за масштабом і скромних за значенням заходів. А коли йде мова про великомасштабні, складні операції, які зачіпають різноманітні інтереси їх організаторів і суспільства в цілому, тоді їх ефективність, як правило, не може бути повністю охарактеризована за допомогою одного — єдиного показника ефективності W. На допомогу йому доводиться залучати інші, додаткові. Такі завдання дослідження операцій називаються багатокритеріальними.

Другий приклад — на цей раз зовсім з іншої області. Організується (або реорганізується) робота промислового підприємства. Потрібно обрати рішення. З однієї сторони, нам хотілося б перетворити в максимум валовий об’єм продукції. Бажано також було б отримати максимальний чистий дохід D. Що стосується собівартості S, її хотілося б перетворити в мінімум, а продуктивність праці П в максимум. При обмірковуванні задач може виникнути ще ряд допоміжних критеріїв.

Така множинність показників ефективності, з яких одні бажано звести до максимуму, а інші — до мінімуму, характерна для будь-якої скільки-небудь складної задачі дослідження операцій. Пропонуємо читачеві у вигляді вправи спробувати сформулювати ряд критеріїв, за якими буде оцінюватися робота автобусного парку. Подумайте про те, який з них, з вашої точки зору, є головним (найтісніше пов’язаним з цільовою спрямованістю операції), а інші (додаткові) розташуєте в порядку спадання важливості. На цьому прикладі можна переконатися в тому, що а) жоден з показників не може бути обраний як єдиний і б) формування системи показників — не така вже проста справа... І самі показники та їх впорядкованість за важливістю залежать від того, з точки зору чиїх інтересів оптимізується рішення.

Отже, типовою для великомасштабного завдання дослідування операцій є багатокритеріальність — наявність ряду кількісних показників W , W , ..., одні з яких бажано перетворити в максимум, інші — в мінімум («щоб і вовки були ситі, і вівці цілі»).

Питається, чи можна знайти рішення, які одночасно задовольняють всім цим вимогам? З усією відвертістю відповімо: ні. Рішення, що зводять до максимуму один якийсь показник, як правило, не зводять ні в максимум, ні в мінімум інші. Тому часто застосовується формулювання: «досягти максимального ефекту при мінімальних витратах» являє собою не більш, ніж фразу, яка при науковому аналізі повинна бути відкинута.

Як же бути у випадку, якщо все ж таки доводиться оцінювати ефективність операції по декільком показникам?

Комплексна оцінка операцій за кількома операціями утруднена, тому на практиці намагаються об’єднати штучно кілька показників в один узагальнений (складений критерій). Він може мати вигляд дробу, де в чисельнику ставлять показники w₁, …., w_k, які бажано збільшити,а в знаменнику — ті w_k+1, …, w_n, що бажано зменшити:

Нерідко застосовується й інший, дещо більше задумливий, спосіб складання «узагальненого показника ефективності» — він являє собою «зважену суму» приватних показників, в яку кожен з них W входить з якоюсь «вагою» відображає його важливість:

(1.1)

(Для тих показників, які бажано збільшити, ваги беруться позитивними, зменшити — негативними).

При довільному призначення ваги а , а , ... цей спосіб нічим не кращий за попередній (хіба тим, що узагальнений критерій не рівний нескінченості). Його прихильники посилаються на те, що і людина, приймаючи компромісне рішення, також подумки зважує всі «за» і «проти», приписуючи більшу вагу більш важливим для нього факторів. Це, може бути, і так, але, мабуть, «вагові коефіцієнти», з якими входять в розрахунок різні показники, не постійні, а змінюються в залежності від ситуації.

Пояснимо це елементарним прикладом. Людина виходить з дому, щоб їхати на роботу, боїться запізнитися і розмірковує: яким транспортом скористатися? Трамвай ходить часто, але йде довго; автобус — швидше, але з великими інтервалами. Можна, звичайно, взяти таксі, але це обійдеться дорого. Є ще таке рішення: частину шляху проїхати на метро, ​​а потім взяти таксі. Але на стоянці може не бути машин, а добираючись до роботи зі станції метро пішки, він ризикує запізнитися більше, ніж якщо б їхав автобусом. Як йому вчинити?

Перед нами типова (навмисно спрощена) задача дослідження операцій з двома критеріями (показниками). Перший — середній очікуваний час запізнення Т, який хотілося б зробити мінімальним. Другий — очікувана вартість проїзду її теж бажано зробити мінімальною. Але ці дві вимоги, як ми знаємо, несумісні, тому людина повинен прийняти компромісне, прийнятне за обома критеріями, рішення. Можливо, він при цьому підсвідомо зважує всі «за» і «проти», використовуючи загальний показник:

(1.2)

Але біда в тому, що вагові коефіцієнти а , а ніяк не можна вважати постійними. Вони залежать як від самих величин Т і S, так і від обстановки. Наприклад, якщо людина недавно вже отримала догану за запізнення, коефіцієнт при Т у нього, ймовірно, збільшиться, а на другий день після получки, ймовірно, зменшиться коефіцієнт при S. Якщо ж призначати (як це зазвичай і робиться) ваги а , а довільно, то, по суті, настільки ж довільним буде і «оптимальне» рішення.

Тут ми зустрічаємося з дуже типовим для подібних ситуацій прийомом — «перенесенням свавілля з одної інстанції в іншу». Простий вибір компромісного рішення на основі уявного зіставлення всіх «за» і «проти» кожного рішення здається занадто довільним, недостатньо «науковим». А ось маневрування з формулою, що включає (нехай так само довільно призначені) коефіцієнти а , а , — зовсім інша справа. Це вже «наука»! По суті ж ніякої науки тут немає, і нічого обманювати самих себе.

«Жени природу в двері — вона влетить у вікно». Годі сподіватися повністю позбутися від суб’єктивності в задачах, пов’язаних з вибором рішень. Навіть у найпростіших, однокритеріальних завданнях вона неминуче присутня, проявляючись хоча б у виборі показника ефективності та математичної моделі явища. Тим більше неминуча суб’єктивність (грубо кажучи, свавілля) при виборі рішення в багатокритеріальній задачі. Правда, бувають рідкісні випадки, коли досить ознайомитися зі значеннями всіх показників для кожного варіанту, щоб відразу стало ясно, який з них вибрати. Уявімо собі, наприклад, що якийсь варіант рішення х має перевагу над іншими за всіма показниками; ясно, що саме йому слід віддати перевагу. Але набагато частіше зустрічаються випадки, коли з першого погляду ситуація незрозуміла: один з показників тягне в один бік, інший — в іншу. При цьому завжди корисно провести додаткові розрахунки, користуючись, може бути, навіть формулами типу (1.1), але не довіряючи їм сліпо, а зберігаючи до них критичне ставлення.

Виходить, що математичний апарат не може нам нічим допомогти при вирішенні багатокритеріальних завдань? Аж ніяк ні, він може допомогти, і дуже суттєво. Перш за все він дозволяє вирішувати прямі завдання дослідження операцій, тобто для будь-якого рішення х знаходити значення показників ефективності W , W , скільки б їх не було (до речі, для прямих задач багатокритеріальної — не перешкода). І по-друге, що особливо важливо, він допомагає «вибракувати» з безлічі можливих рішень X свідомо невдалі, які поступаються іншим за всіма критеріями.

Покажемо, як це, в принципі, робиться. Нехай є багатокритеріальна задача дослідження операцій з к критеріями . Для спрощення припустимо, що всі ці величини бажано максимізувати (як переходити від «мінімуму» до «максимум» ми вже знаємо). Нехай у складі безлічі можливих рішень є два рішення і х такі, що всі критерії для першого рішення більше або рівні відповідним критеріям для другого рішення, причому хоча б один з них дійсно більше. Очевидно, тоді в складі множини X немає сенсу зберігати рішення х — воно витісняється (або, як кажуть, «домінує») рішенням х . Гаразд, викинемо рішення х як неконкурентоспроможне і перейдемо до порівняння інших за всіма критеріями. У результаті такої процедури відкидання свідомо непридатних, невигідних рішень звичайно сильно зменшується: у ньому зберігаються тільки так звані ефективні (інакше «паретовскіє») рішення, характерні тим, що ні для одного з них не існує домінуючого рішення.

Проілюструємо прийом виділення паретовских рішень на прикладі задачі з двома критеріями: (обидва потрібно максимізувати). Безліч X складається з кінцевого числа n можливих рішень х , х , ..., х . Кожному рішенням відповідають визначені значення показників ; будемо зображати рішення точкою на площині з координатами і пронумеровані точки відповідно номеру рішення (рис. 1).

Очевидно, з усієї множини X ефективними будуть тільки рішення що лежать на правій верхній межі області можливих рішень (див. жирні крапки, з’єднані пунктиром, на рис.1). Для будь-якого іншого рішення існує хоча б одне домінуюче, для якого або , або , або обидва більші, ніж для даного. І тільки для рішень, що лежать на правій верхній межі, домінуючою не існує.

Рис. 1.

Коли з безлічі можливих рішень виділені ефективні, «переговори» можуть вестися вже в межах цієї «ефективної» множини. На рис. 1 його утворюють чотири рішення: х , х , х і х з них х — найкраще за критерієм , х — за критерієм . Справа особи, яка приймає рішення, вибрати той варіант, який для нього кращий і «прийнятний» за обома критеріями.

Аналогічно будується безліч ефективних рішень і у випадку, коли показників не два, а більше (при кількості їх, більшому трьох, геометрична інтерпретація втрачає наочність, але суть справи зберігається). Безліч ефективних рішень легше охопити, ніж множини X. Що стосується остаточного вибору рішення, то він як і раніше залишається прерогативою людини. Тільки людина, з його неперевершеним умінням вирішувати неформальні завдання, приймати так звані «компромісні рішення» (не строго-оптимальні, але прийнятні по ряду критеріїв) може взяти на себе відповідальність за остаточний вибір.

Проте сама процедура вибору рішення, будучи повторена неодноразово, може послужити основою для вироблення деяких формальних правил, що застосовуються вже без участі людини. Мова йде про так званих «евристичних» методах вибору рішень. Припустимо, що досвідчена людина (або, ще краще, група досвідчених людей) багато разів вибирає компромісне рішення в багатокритеріальної задачі дослідження операцій, розв’язуваної за різних умов а. Набираючи статистику за результатами вибору, можна, наприклад, розумним чином підібрати значення «ваги» а , а , ... у формулі (1.1), в загальному випадку залежності від умов а й самих показників , і скористатися таким узагальненим критерієм для вибору рішення, на цей раз вже автоматичного, без участі людини. На це іноді доводиться йти у випадках, коли часу на обдумування компромісного рішення немає (наприклад, в умовах бойових дій), або ж у випадку, коли вибір рішення передається автоматизованої системи управління (АСУ).

У деяких випадках дуже корисною виявляється процедура вибору рішення у так званому «розмовному режимі», коли машина, провівши розрахунки, видає особі (особам), керуючому операцією, значення показників , а ця особа, критично оцінивши ситуацію, вносить зміни у вагові коефіцієнти (або інші параметри керуючого алгоритму).

Існує один, часто вживаний спосіб звести багатокритеріальну задачу до однокритеріальної — це виділити один (головний) показник і прагнути його звернути в максимум, а на всі інші , , ... накласти лише деякі обмеження, зажадавши, щоб вони були не менше якихось заданих , ... Наприклад, при оптимізації плану роботи підприємства можна вимагати, щоб прибуток був максимальним, план за асортиментом — виконаний або перевиконаний, а собівартість продукції — не вище заданої. При такому підході всі показники, крім одного — головного, переводяться в розряд заданих умов а. Відоме свавілля в призначенні кордонів , , ... зрозуміло, при цьому залишається; поправки в ці кордони теж можуть бути введені в «діалоговому режимі».

Існує ще один шлях побудови компромісного рішення, яке можна назвати «методом послідовних поступок». Припустимо, що показники , ... розташовані в порядку спадання важливості. Спочатку шукається рішення, що зводить до максимуму перший (найважливіший) показник = . Потім призначається, виходячи з практичних міркувань, з урахуванням до найменшої точності, з якою нам відомі вхідні дані, деяка «поступка» ∆ , яку ми згодні зробити для того, щоб максимізувати другий показник . Накладемо на показник обмеження: зажадаємо, щоб він був не менше, ніж * – ∆ , і при цьому обмеженні шукаємо рішення, перетворення в максимум . Далі знову призначимо «поступку» в , ціною якої можна максимізувати , і т.д. Такий спосіб побудови компромісного рішення прийнятний тим, що тут одразу видно, ціною якої «поступки» в одному показнику набувається виграш в іншому і яка величина цього виграшу.

Так чи інакше, при будь-якому способі її постановки, завдання обґрунтування рішення за кількома показниками залишається не до кінця формалізовано, і остаточний вибір рішення завжди визначається вольовим актом «командира» (так можна умовно назвати відповідальну за вибір особу). Справа дослідника — надати в розпорядження командира дані, які допомагають йому робити вибір не «всліпу», а з урахуванням переваг і недоліків кожного варіанту рішення.