8.8. Імовірнісні тимчасові оцінки сітьових моделей

Тимчасові оцінки тривалості виконання окремих робіт комплексу можуть бути детермінованими і імовірнісними. Детермінована оцінка задається одним числом — t_ij.

На практиці оцінки тривалості безлічі робіт не можуть бути визначені однозначно і є невизначеними. У цьому випадку використовуються імовірнісні оцінки тривалості робіт, розрахунок цих оцінок можна здійснювати двома способами.

Перший спосіб полягає в тому, що час виконання роботи розглядається як неперервна випадкова величина, що заповнює інтервал, обмежений межами, апріорно задається відповідальними виконавцями у вигляді мінімальної (оптимістичній) оцінки тривалості t_min=а_i максимальної (неоптимістичні) t_max = b.

Одночасно вони дають і найбільш ймовірну оцінку тривалості робіт t_нв=m

Мінімальна, або оптимістична, оцінка тривалості визначається виходячи з припущення, що роботи будуть виконуватися за найсприятливішого збігу обставин. Це означає, що швидше завершити роботу практично неможливо.

Максимальна, або неоптимістична, оцінка визначається для самого несприятливого збігу обставин виконання роботи. Ця оцінка передбачає більшу, ніж зазвичай, кількість невдач, зривів, перешкод і т.д. Однак стихійні лиха та нещасні випадки при цьому до числа несприятливих умов не відносяться. Найбільш ймовірна оцінка тривалості визначається для умов виконання робіт, які найчастіше зустрічаються.

Як правило, характеристики а, b і m визначаються на основі експертних оцінок, згідно з якими розраховується математичне сподівання тривалості роботи

_,

а також дисперсія для тривалості операції

_.

Як показує досвід, визначення оцінки т викликає труднощі у відповідальних виконавців, у той же час визначення оцінок а і b таких ускладнень не викликає, тому в багатьох випадках кращі формули, запропоновані видомим вченим Д. І. Голенко:

_и

З цих формул видно, що чим більший розмах (b-а), тим більша невизначеність, і навпаки.

Другий спосіб охоплює більш загальний випадок, коли характеристики а і b невідомі. Відхилення випадкової величини t_i (часу виконання роботи а_i) від її заздалегідь заданого значення t_i) може бути в обидві сторони, як у більшу (запізнення), так і в меншу (випередження).

При цьому виникають наступні запитання:

— яка ймовірність того, що фактичний час виконання комплексу робіт Т не перевершить заданої величини Т₀?

— як слід організувати комплекс робіт для того, щоб величина Т не перевершила заданого Т₀ з досить високою ймовірністю?

Розглянемо перше питання (тим більше, що для відповіді на друге, перш за все, треба відповісти на перше). Припустимо, що часи виконання роботі t_1, t₂,..., t_n являють собою випадкові величини з відомими законами розподілу і для простоти будемо вважати, що ці випадкові величини незалежні і щільності їх рівні

Розглянута функція цих випадкових величин — загальний час виконання всього комплексу робіт

Поставлена задача буде вирішена, якщо вдасться знайти функцію розподілу випадкової величини Т:

_(8.4)

Тоді підставляючи в неї замість t величину Т₀, ми знайдемо шукану ймовірність.

Функція F(t) у загальному випадку є досить складною, так як сам критичний шлях випадковий і залежить від тих значень, які приймають випадкові величини t_i. При одних значеннях t_i може бути один критичний шлях, при інших-другий. Однак, якщо обмежитися тільки порівняно малими відхиленнями випадкових величин t_i від своїх номінальних значень t_i⁽⁰⁾(так, що критичний шлях залишається тим же), то завдання сильно спрощується. Тоді у формулі (8. 4) фігурують тільки декілька цілком певних випадкових величин t_i. Закон розподілу випадкової величини Т являє собою в цьому випадку не що інше, як композицію законів розподілу випадкових величин t_i, що відносяться до критичних робіт.

Надалі нам приходить на допомогу сама складність плану і наявність на критичному шляху багатьох робіт. Ми знаємо, що при додаванні досить великого числа незалежних випадкових величин, розподілених за будь-яких законів і порівняльних по порядку дисперсій, закон розподілу суми виявляється близьким до нормального (центральна гранична теорема). Тому, якщо на критичному шляху стоїть досить велика кількість робіт (порядку 5-6 і більше), то на практиці можна вважати наближено величину Т нормально розподіленою з математичним очікуванням

_,

де m_ti — математичне сподівання часу виконання i-ї роботи, і середнім квадратичним відхиленням

_,

де — середнє квадратичне відхилення часу виконання i-ї роботи. Щільність ймовірності випадкової величини Т буде мати вигляд

_.

У даному випадку для знаходження закону розподілу часу виконання комплексу робіт немає потреби знати закони розподілу f_i(t) окремих часів t_i, досить знати їх математичні очікування і середні квадратичні відхилення. Якщо ці величини відомі, ймовірність виконання комплексу в термін Т знайдеться за відомою формулою

_,

де _— функція Лапласа.

Якщо при випадкових змінах часів t_i, може змінюватися і сам критичний шлях, задача обчислення ймовірності Р (Т <Т₀) неможлива. При порівняно малому числі робіт у комплексі це завдання може бути вирішена аналітичним способом, але при великому їх числі розрахунки стають громіздкими, тому на практиці виявляється зручніше визначати ці ймовірності методом Монте-Карло на ЕОМ. При цьому розігруються значення випадкових часів t_i. Для кожної сукупності отриманих значень визначається час Т виконання комплексу робіт тим способом, який застосовується для невипадкових часів. Отримавши достатньо велику кількість N таких реалізацій, ми можемо безпосередньо знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини T. Як наближеного значення ймовірності Р (Т <To) можна взяти частоту цієї події в серії реалізації, оцінивши при цьому довірчі ймовірності та довірчі інтервали відомими методами математичної статистики.

Слід звернути увагу ще на один момент, пов’язаний із застосуванням ЕОМ при сітьовому плануванні. Зазвичай при виконанні складних комплексів робіт спочатку намічені плани не виконуються; їх доводиться по ходу роботи переглядати. При цьому надзвичайно зручно тримати всі дані про комплекс (як початковий план, так і поступає інформацію про його порушення) в пам’яті ЕОМ, яка час від часу заново переглядає план робіт, знаходить для кожного моменту часу новий критичний шлях («загрозливі» за термінами роботи) і оптимізує план, зазначаючи, які саме роботи і якою мірою слід форсувати.